Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56219 / 16139
↖ ↑ ↗
← N 79.297030°
W 25.589905°		 ← 56.71 m → N 79.297030°
W 25.587158°		 →
↑
56.70 m
↓
↑
56.70 m
↓
N 79.296520°
W 25.589905°		 ← 56.71 m →
3 216 m²		 N 79.296520°
W 25.587158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428920745849609 y=0.123134613037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428920745849609 × 217)
    floor (0.428920745849609 × 131072)
    floor (56219.5)     		tx = 56219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123134613037109 × 217)
    floor (0.123134613037109 × 131072)
    floor (16139.5)     		ty = 16139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56219 / 16139 ti = "17/56219/16139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56219/16139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56219 ÷ 217
    56219 ÷ 131072     		x = 0.428916931152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16139 ÷ 217
    16139 ÷ 131072     		y = 0.123130798339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428916931152344 × 2 - 1) × π
    -0.142166137695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.44662809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123130798339844 × 2 - 1) × π
    0.753738403320312 × 3.1415926535     		Φ = 2.36793903053191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44662809} λ = -0.44662809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36793903053191))-π/2
    2×atan(10.6753679887214)-π/2
    2×1.47739529454554-π/2
    2.95479058909108-1.57079632675     		φ = 1.38399426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44662809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.589905°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38399426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.297030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56219 KachelY 16139 -0.44662809 1.38399426 -25.589905 79.297030
    Oben rechts KachelX + 1 56220 KachelY 16139 -0.44658016 1.38399426 -25.587158 79.297030
    Unten links KachelX 56219 KachelY + 1 16140 -0.44662809 1.38398536 -25.589905 79.296520
    Unten rechts KachelX + 1 56220 KachelY + 1 16140 -0.44658016 1.38398536 -25.587158 79.296520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38399426-1.38398536) × R
    8.89999999986735e-06 × 6371000     		dl = 56.7018999991549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38399426-1.38398536) × R
    8.89999999986735e-06 × 6371000     		dr = 56.7018999991549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44662809--0.44658016) × cos(1.38399426) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.185717550670074 × 6371000     		do = 56.7110882792105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44662809--0.44658016) × cos(1.38398536) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.185726295830939 × 6371000     		du = 56.713758719285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38399426)-sin(1.38398536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185717550670074-0.185726295830939)×R²
    abs(-0.44658016--0.44662809)×8.7451608650202e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.7451608650202e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.7451608650202e-06×40589641000000     		ar = 3215.70216593638m²