Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56218 / 14334
↖ ↑ ↗
← N 80.179650°
W 25.592651°		 ← 52.09 m → N 80.179650°
W 25.589905°		 →
↑
52.05 m
↓
↑
52.05 m
↓
N 80.179182°
W 25.592651°		 ← 52.10 m →
2 712 m²		 N 80.179182°
W 25.589905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428913116455078 y=0.109363555908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428913116455078 × 217)
    floor (0.428913116455078 × 131072)
    floor (56218.5)     		tx = 56218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109363555908203 × 217)
    floor (0.109363555908203 × 131072)
    floor (14334.5)     		ty = 14334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56218 / 14334 ti = "17/56218/14334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56218/14334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56218 ÷ 217
    56218 ÷ 131072     		x = 0.428909301757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14334 ÷ 217
    14334 ÷ 131072     		y = 0.109359741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428909301757812 × 2 - 1) × π
    -0.142181396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44667603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109359741210938 × 2 - 1) × π
    0.781280517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.45446513434612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44667603} λ = -0.44667603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45446513434612))-π/2
    2×atan(11.6402059372002)-π/2
    2×1.48509761013118-π/2
    2.97019522026236-1.57079632675     		φ = 1.39939889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44667603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.592651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39939889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.179650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56218 KachelY 14334 -0.44667603 1.39939889 -25.592651 80.179650
    Oben rechts KachelX + 1 56219 KachelY 14334 -0.44662809 1.39939889 -25.589905 80.179650
    Unten links KachelX 56218 KachelY + 1 14335 -0.44667603 1.39939072 -25.592651 80.179182
    Unten rechts KachelX + 1 56219 KachelY + 1 14335 -0.44662809 1.39939072 -25.589905 80.179182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39939889-1.39939072) × R
    8.17000000008505e-06 × 6371000     		dl = 52.0510700005419m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39939889-1.39939072) × R
    8.17000000008505e-06 × 6371000     		dr = 52.0510700005419m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44667603--0.44662809) × cos(1.39939889) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.170559475844373 × 6371000     		do = 52.093254123806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44667603--0.44662809) × cos(1.39939072) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.1705675261268 × 6371000     		du = 52.0957128872734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39939889)-sin(1.39939072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170559475844373-0.1705675261268)×R²
    abs(-0.44662809--0.44667603)×8.05028242684136e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.05028242684136e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.05028242684136e-06×40589641000000     		ar = 2711.57360748921m²