Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56217 / 16283
↖ ↑ ↗
← N 79.223328°
W 25.595398°		 ← 57.11 m → N 79.223328°
W 25.592651°		 →
↑
57.08 m
↓
↑
57.08 m
↓
N 79.222814°
W 25.595398°		 ← 57.11 m →
3 260 m²		 N 79.222814°
W 25.592651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428905487060547 y=0.124233245849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428905487060547 × 217)
    floor (0.428905487060547 × 131072)
    floor (56217.5)     		tx = 56217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124233245849609 × 217)
    floor (0.124233245849609 × 131072)
    floor (16283.5)     		ty = 16283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56217 / 16283 ti = "17/56217/16283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56217/16283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56217 ÷ 217
    56217 ÷ 131072     		x = 0.428901672363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16283 ÷ 217
    16283 ÷ 131072     		y = 0.124229431152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428901672363281 × 2 - 1) × π
    -0.142196655273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.44672397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124229431152344 × 2 - 1) × π
    0.751541137695312 × 3.1415926535     		Φ = 2.36103611698663
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44672397} λ = -0.44672397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36103611698663))-π/2
    2×atan(10.6019306039987)-π/2
    2×1.47675211982691-π/2
    2.95350423965382-1.57079632675     		φ = 1.38270791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44672397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.595398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38270791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.223328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56217 KachelY 16283 -0.44672397 1.38270791 -25.595398 79.223328
    Oben rechts KachelX + 1 56218 KachelY 16283 -0.44667603 1.38270791 -25.592651 79.223328
    Unten links KachelX 56217 KachelY + 1 16284 -0.44672397 1.38269895 -25.595398 79.222814
    Unten rechts KachelX + 1 56218 KachelY + 1 16284 -0.44667603 1.38269895 -25.592651 79.222814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38270791-1.38269895) × R
    8.95999999994679e-06 × 6371000     		dl = 57.084159999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38270791-1.38269895) × R
    8.95999999994679e-06 × 6371000     		dr = 57.084159999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44672397--0.44667603) × cos(1.38270791) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.186981368257268 × 6371000     		do = 57.1089227662172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44672397--0.44667603) × cos(1.38269895) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.186990170226365 × 6371000     		du = 57.1116111141423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38270791)-sin(1.38269895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186981368257268-0.186990170226365)×R²
    abs(-0.44667603--0.44672397)×8.80196909758268e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.80196909758268e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.80196909758268e-06×40589641000000     		ar = 3260.09161565505m²