Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56217 / 16140
↖ ↑ ↗
← N 79.296520°
W 25.595398°		 ← 56.73 m → N 79.296520°
W 25.592651°		 →
↑
56.70 m
↓
↑
56.70 m
↓
N 79.296010°
W 25.595398°		 ← 56.73 m →
3 217 m²		 N 79.296010°
W 25.592651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428905487060547 y=0.123142242431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428905487060547 × 217)
    floor (0.428905487060547 × 131072)
    floor (56217.5)     		tx = 56217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123142242431641 × 217)
    floor (0.123142242431641 × 131072)
    floor (16140.5)     		ty = 16140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56217 / 16140 ti = "17/56217/16140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56217/16140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56217 ÷ 217
    56217 ÷ 131072     		x = 0.428901672363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16140 ÷ 217
    16140 ÷ 131072     		y = 0.123138427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428901672363281 × 2 - 1) × π
    -0.142196655273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.44672397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123138427734375 × 2 - 1) × π
    0.75372314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.36789109363229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44672397} λ = -0.44672397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36789109363229))-π/2
    2×atan(10.6748562569432)-π/2
    2×1.47739084307897-π/2
    2.95478168615793-1.57079632675     		φ = 1.38398536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44672397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.595398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38398536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.296520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56217 KachelY 16140 -0.44672397 1.38398536 -25.595398 79.296520
    Oben rechts KachelX + 1 56218 KachelY 16140 -0.44667603 1.38398536 -25.592651 79.296520
    Unten links KachelX 56217 KachelY + 1 16141 -0.44672397 1.38397646 -25.595398 79.296010
    Unten rechts KachelX + 1 56218 KachelY + 1 16141 -0.44667603 1.38397646 -25.592651 79.296010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38398536-1.38397646) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dl = 56.7019000005695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38398536-1.38397646) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dr = 56.7019000005695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44672397--0.44667603) × cos(1.38398536) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.185726295830939 × 6371000     		do = 56.7255913416518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44672397--0.44667603) × cos(1.38397646) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.185735040977092 × 6371000     		du = 56.7282623343873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38398536)-sin(1.38397646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185726295830939-0.185735040977092)×R²
    abs(-0.44667603--0.44672397)×8.74514615387123e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.74514615387123e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.74514615387123e-06×40589641000000     		ar = 3216.52453298955m²