Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56216 / 43271
↖ ↑ ↗
← N 52.040666°
W 25.598144°		 ← 187.83 m → N 52.040666°
W 25.595398°		 →
↑
187.88 m
↓
↑
187.88 m
↓
N 52.038977°
W 25.598144°		 ← 187.84 m →
35 290 m²		 N 52.038977°
W 25.595398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428897857666016 y=0.330135345458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428897857666016 × 217)
    floor (0.428897857666016 × 131072)
    floor (56216.5)     		tx = 56216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330135345458984 × 217)
    floor (0.330135345458984 × 131072)
    floor (43271.5)     		ty = 43271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56216 / 43271 ti = "17/56216/43271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56216/43271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56216 ÷ 217
    56216 ÷ 131072     		x = 0.42889404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43271 ÷ 217
    43271 ÷ 131072     		y = 0.330131530761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42889404296875 × 2 - 1) × π
    -0.1422119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44677190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330131530761719 × 2 - 1) × π
    0.339736938476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.06731507004055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44677190} λ = -0.44677190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06731507004055))-π/2
    2×atan(2.90756240908113)-π/2
    2×1.23953864708014-π/2
    2.47907729416028-1.57079632675     		φ = 0.90828097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44677190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.598144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90828097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.040666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56216 KachelY 43271 -0.44677190 0.90828097 -25.598144 52.040666
    Oben rechts KachelX + 1 56217 KachelY 43271 -0.44672397 0.90828097 -25.595398 52.040666
    Unten links KachelX 56216 KachelY + 1 43272 -0.44677190 0.90825148 -25.598144 52.038977
    Unten rechts KachelX + 1 56217 KachelY + 1 43272 -0.44672397 0.90825148 -25.595398 52.038977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90828097-0.90825148) × R
    2.94899999999654e-05 × 6371000     		dl = 187.880789999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90828097-0.90825148) × R
    2.94899999999654e-05 × 6371000     		dr = 187.880789999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44677190--0.44672397) × cos(0.90828097) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.61510202260522 × 6371000     		do = 187.828802279733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44677190--0.44672397) × cos(0.90825148) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.615125273655304 × 6371000     		du = 187.835902267586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90828097)-sin(0.90825148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61510202260522-0.615125273655304)×R²
    abs(-0.44672397--0.44677190)×2.32510500833838e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.32510500833838e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.32510500833838e-05×40589641000000     		ar = 35290.0907350755m²