Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56213 / 44166
↖ ↑ ↗
← N 50.502946°
W 25.606385°		 ← 194.26 m → N 50.502946°
W 25.603638°		 →
↑
194.25 m
↓
↑
194.25 m
↓
N 50.501199°
W 25.606385°		 ← 194.27 m →
37 737 m²		 N 50.501199°
W 25.603638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428874969482422 y=0.336963653564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428874969482422 × 217)
    floor (0.428874969482422 × 131072)
    floor (56213.5)     		tx = 56213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336963653564453 × 217)
    floor (0.336963653564453 × 131072)
    floor (44166.5)     		ty = 44166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56213 / 44166 ti = "17/56213/44166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56213/44166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56213 ÷ 217
    56213 ÷ 131072     		x = 0.428871154785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44166 ÷ 217
    44166 ÷ 131072     		y = 0.336959838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428871154785156 × 2 - 1) × π
    -0.142257690429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.44691572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336959838867188 × 2 - 1) × π
    0.326080322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0244115448806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44691572} λ = -0.44691572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0244115448806))-π/2
    2×atan(2.78545586243609)-π/2
    2×1.22611950906549-π/2
    2.45223901813099-1.57079632675     		φ = 0.88144269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44691572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.606385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88144269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.502946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56213 KachelY 44166 -0.44691572 0.88144269 -25.606385 50.502946
    Oben rechts KachelX + 1 56214 KachelY 44166 -0.44686778 0.88144269 -25.603638 50.502946
    Unten links KachelX 56213 KachelY + 1 44167 -0.44691572 0.88141220 -25.606385 50.501199
    Unten rechts KachelX + 1 56214 KachelY + 1 44167 -0.44686778 0.88141220 -25.603638 50.501199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88144269-0.88141220) × R
    3.04899999999941e-05 × 6371000     		dl = 194.251789999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88144269-0.88141220) × R
    3.04899999999941e-05 × 6371000     		dr = 194.251789999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44691572--0.44686778) × cos(0.88144269) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.636038544242539 × 6371000     		do = 194.262543043898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44691572--0.44686778) × cos(0.88141220) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.636062071777605 × 6371000     		du = 194.269728958706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88144269)-sin(0.88141220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636038544242539-0.636062071777605)×R²
    abs(-0.44686778--0.44691572)×2.35275350662922e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35275350662922e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35275350662922e-05×40589641000000     		ar = 37736.5446576342m²