Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56213 / 16229
↖ ↑ ↗
← N 79.251025°
W 25.606385°		 ← 56.96 m → N 79.251025°
W 25.603638°		 →
↑
56.96 m
↓
↑
56.96 m
↓
N 79.250513°
W 25.606385°		 ← 56.97 m →
3 245 m²		 N 79.250513°
W 25.603638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428874969482422 y=0.123821258544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428874969482422 × 217)
    floor (0.428874969482422 × 131072)
    floor (56213.5)     		tx = 56213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123821258544922 × 217)
    floor (0.123821258544922 × 131072)
    floor (16229.5)     		ty = 16229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56213 / 16229 ti = "17/56213/16229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56213/16229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56213 ÷ 217
    56213 ÷ 131072     		x = 0.428871154785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16229 ÷ 217
    16229 ÷ 131072     		y = 0.123817443847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428871154785156 × 2 - 1) × π
    -0.142257690429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.44691572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123817443847656 × 2 - 1) × π
    0.752365112304688 × 3.1415926535     		Φ = 2.36362470956611
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44691572} λ = -0.44691572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36362470956611))-π/2
    2×atan(10.6294102343273)-π/2
    2×1.4769938216583-π/2
    2.95398764331661-1.57079632675     		φ = 1.38319132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44691572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.606385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38319132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.251025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56213 KachelY 16229 -0.44691572 1.38319132 -25.606385 79.251025
    Oben rechts KachelX + 1 56214 KachelY 16229 -0.44686778 1.38319132 -25.603638 79.251025
    Unten links KachelX 56213 KachelY + 1 16230 -0.44691572 1.38318238 -25.606385 79.250513
    Unten rechts KachelX + 1 56214 KachelY + 1 16230 -0.44686778 1.38318238 -25.603638 79.250513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38319132-1.38318238) × R
    8.93999999984629e-06 × 6371000     		dl = 56.9567399990207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38319132-1.38318238) × R
    8.93999999984629e-06 × 6371000     		dr = 56.9567399990207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44691572--0.44686778) × cos(1.38319132) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.186506462108079 × 6371000     		do = 56.9638742041707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44691572--0.44686778) × cos(1.38318238) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.186515245237009 × 6371000     		du = 56.9665567978235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38319132)-sin(1.38318238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186506462108079-0.186515245237009)×R²
    abs(-0.44686778--0.44691572)×8.78312892921285e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.78312892921285e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.78312892921285e-06×40589641000000     		ar = 3244.5529682323m²