Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56211 / 43405
↖ ↑ ↗
← N 51.813709°
W 25.611878°		 ← 188.82 m → N 51.813709°
W 25.609131°		 →
↑
188.84 m
↓
↑
188.84 m
↓
N 51.812011°
W 25.611878°		 ← 188.83 m →
35 657 m²		 N 51.812011°
W 25.609131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428859710693359 y=0.331157684326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428859710693359 × 217)
    floor (0.428859710693359 × 131072)
    floor (56211.5)     		tx = 56211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331157684326172 × 217)
    floor (0.331157684326172 × 131072)
    floor (43405.5)     		ty = 43405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56211 / 43405 ti = "17/56211/43405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56211/43405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56211 ÷ 217
    56211 ÷ 131072     		x = 0.428855895996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43405 ÷ 217
    43405 ÷ 131072     		y = 0.331153869628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428855895996094 × 2 - 1) × π
    -0.142288208007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.44701159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331153869628906 × 2 - 1) × π
    0.337692260742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.06089152549146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44701159} λ = -0.44701159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06089152549146))-π/2
    2×atan(2.88894540999304)-π/2
    2×1.23755807341037-π/2
    2.47511614682074-1.57079632675     		φ = 0.90431982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44701159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.611878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90431982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.813709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56211 KachelY 43405 -0.44701159 0.90431982 -25.611878 51.813709
    Oben rechts KachelX + 1 56212 KachelY 43405 -0.44696365 0.90431982 -25.609131 51.813709
    Unten links KachelX 56211 KachelY + 1 43406 -0.44701159 0.90429018 -25.611878 51.812011
    Unten rechts KachelX + 1 56212 KachelY + 1 43406 -0.44696365 0.90429018 -25.609131 51.812011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90431982-0.90429018) × R
    2.96399999999419e-05 × 6371000     		dl = 188.83643999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90431982-0.90429018) × R
    2.96399999999419e-05 × 6371000     		dr = 188.83643999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44701159--0.44696365) × cos(0.90431982) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.618220347669536 × 6371000     		do = 188.82040717012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44701159--0.44696365) × cos(0.90429018) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.6182436445813 × 6371000     		du = 188.827522646635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90431982)-sin(0.90429018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618220347669536-0.6182436445813)×R²
    abs(-0.44696365--0.44701159)×2.32969117638371e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32969117638371e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32969117638371e-05×40589641000000     		ar = 35656.8453223973m²