Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56211 / 19131
↖ ↑ ↗
← N 77.658282°
W 25.611878°		 ← 65.28 m → N 77.658282°
W 25.609131°		 →
↑
65.30 m
↓
↑
65.30 m
↓
N 77.657695°
W 25.611878°		 ← 65.29 m →
4 263 m²		 N 77.657695°
W 25.609131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428859710693359 y=0.145961761474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428859710693359 × 217)
    floor (0.428859710693359 × 131072)
    floor (56211.5)     		tx = 56211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145961761474609 × 217)
    floor (0.145961761474609 × 131072)
    floor (19131.5)     		ty = 19131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56211 / 19131 ti = "17/56211/19131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56211/19131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56211 ÷ 217
    56211 ÷ 131072     		x = 0.428855895996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19131 ÷ 217
    19131 ÷ 131072     		y = 0.145957946777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428855895996094 × 2 - 1) × π
    -0.142288208007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.44701159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145957946777344 × 2 - 1) × π
    0.708084106445312 × 3.1415926535     		Φ = 2.22451182686871
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44701159} λ = -0.44701159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22451182686871))-π/2
    2×atan(9.24896660466438)-π/2
    2×1.46309451650257-π/2
    2.92618903300513-1.57079632675     		φ = 1.35539271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44701159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.611878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35539271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.658282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56211 KachelY 19131 -0.44701159 1.35539271 -25.611878 77.658282
    Oben rechts KachelX + 1 56212 KachelY 19131 -0.44696365 1.35539271 -25.609131 77.658282
    Unten links KachelX 56211 KachelY + 1 19132 -0.44701159 1.35538246 -25.611878 77.657695
    Unten rechts KachelX + 1 56212 KachelY + 1 19132 -0.44696365 1.35538246 -25.609131 77.657695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35539271-1.35538246) × R
    1.02500000001005e-05 × 6371000     		dl = 65.30275000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35539271-1.35538246) × R
    1.02500000001005e-05 × 6371000     		dr = 65.30275000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44701159--0.44696365) × cos(1.35539271) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.213741734993152 × 6371000     		do = 65.2822275792002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44701159--0.44696365) × cos(1.35538246) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.213751748106515 × 6371000     		du = 65.2852858417588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35539271)-sin(1.35538246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213741734993152-0.213751748106515)×R²
    abs(-0.44696365--0.44701159)×1.00131133630721e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.00131133630721e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.00131133630721e-05×40589641000000     		ar = 4263.20884358845m²