Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56211 / 14291
↖ ↑ ↗
← N 80.199774°
W 25.611878°		 ← 51.99 m → N 80.199774°
W 25.609131°		 →
↑
51.99 m
↓
↑
51.99 m
↓
N 80.199306°
W 25.611878°		 ← 51.99 m →
2 703 m²		 N 80.199306°
W 25.609131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428859710693359 y=0.109035491943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428859710693359 × 217)
    floor (0.428859710693359 × 131072)
    floor (56211.5)     		tx = 56211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109035491943359 × 217)
    floor (0.109035491943359 × 131072)
    floor (14291.5)     		ty = 14291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56211 / 14291 ti = "17/56211/14291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56211/14291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56211 ÷ 217
    56211 ÷ 131072     		x = 0.428855895996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14291 ÷ 217
    14291 ÷ 131072     		y = 0.109031677246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428855895996094 × 2 - 1) × π
    -0.142288208007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.44701159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109031677246094 × 2 - 1) × π
    0.781936645507812 × 3.1415926535     		Φ = 2.45652642102978
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44701159} λ = -0.44701159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45652642102978))-π/2
    2×atan(11.6642244847454)-π/2
    2×1.48527321771501-π/2
    2.97054643543002-1.57079632675     		φ = 1.39975011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44701159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.611878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39975011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.199774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56211 KachelY 14291 -0.44701159 1.39975011 -25.611878 80.199774
    Oben rechts KachelX + 1 56212 KachelY 14291 -0.44696365 1.39975011 -25.609131 80.199774
    Unten links KachelX 56211 KachelY + 1 14292 -0.44701159 1.39974195 -25.611878 80.199306
    Unten rechts KachelX + 1 56212 KachelY + 1 14292 -0.44696365 1.39974195 -25.609131 80.199306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39975011-1.39974195) × R
    8.16000000014583e-06 × 6371000     		dl = 51.9873600009291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39975011-1.39974195) × R
    8.16000000014583e-06 × 6371000     		dr = 51.9873600009291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44701159--0.44696365) × cos(1.39975011) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.170213391623905 × 6371000     		do = 51.987551094667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44701159--0.44696365) × cos(1.39974195) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.170221432541203 × 6371000     		du = 51.9900069977832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39975011)-sin(1.39974195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170213391623905-0.170221432541203)×R²
    abs(-0.44696365--0.44701159)×8.0409172984186e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.0409172984186e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.0409172984186e-06×40589641000000     		ar = 2702.75937232471m²