Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56210 / 43404
↖ ↑ ↗
← N 51.815407°
W 25.614624°		 ← 188.81 m → N 51.815407°
W 25.611878°		 →
↑
188.84 m
↓
↑
188.84 m
↓
N 51.813709°
W 25.614624°		 ← 188.82 m →
35 656 m²		 N 51.813709°
W 25.611878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428852081298828 y=0.331150054931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428852081298828 × 217)
    floor (0.428852081298828 × 131072)
    floor (56210.5)     		tx = 56210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331150054931641 × 217)
    floor (0.331150054931641 × 131072)
    floor (43404.5)     		ty = 43404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56210 / 43404 ti = "17/56210/43404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56210/43404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56210 ÷ 217
    56210 ÷ 131072     		x = 0.428848266601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43404 ÷ 217
    43404 ÷ 131072     		y = 0.331146240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428848266601562 × 2 - 1) × π
    -0.142303466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44705953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331146240234375 × 2 - 1) × π
    0.33770751953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06093946239108
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44705953} λ = -0.44705953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06093946239108))-π/2
    2×atan(2.88908390039854)-π/2
    2×1.23757289091459-π/2
    2.47514578182918-1.57079632675     		φ = 0.90434946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44705953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.614624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90434946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.815407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56210 KachelY 43404 -0.44705953 0.90434946 -25.614624 51.815407
    Oben rechts KachelX + 1 56211 KachelY 43404 -0.44701159 0.90434946 -25.611878 51.815407
    Unten links KachelX 56210 KachelY + 1 43405 -0.44705953 0.90431982 -25.614624 51.813709
    Unten rechts KachelX + 1 56211 KachelY + 1 43405 -0.44701159 0.90431982 -25.611878 51.813709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90434946-0.90431982) × R
    2.9640000000053e-05 × 6371000     		dl = 188.836440000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90434946-0.90431982) × R
    2.9640000000053e-05 × 6371000     		dr = 188.836440000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44705953--0.44701159) × cos(0.90434946) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.618197050214648 × 6371000     		do = 188.813291527502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44705953--0.44701159) × cos(0.90431982) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.618220347669536 × 6371000     		du = 188.820407169902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90434946)-sin(0.90431982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618197050214648-0.618220347669536)×R²
    abs(-0.44701159--0.44705953)×2.32974548889375e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32974548889375e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32974548889375e-05×40589641000000     		ar = 35655.5016458532m²