Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56209 / 43407
↖ ↑ ↗
← N 51.810313°
W 25.617370°		 ← 188.80 m → N 51.810313°
W 25.614624°		 →
↑
188.84 m
↓
↑
188.84 m
↓
N 51.808615°
W 25.617370°		 ← 188.80 m →
35 652 m²		 N 51.808615°
W 25.614624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428844451904297 y=0.331172943115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428844451904297 × 217)
    floor (0.428844451904297 × 131072)
    floor (56209.5)     		tx = 56209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331172943115234 × 217)
    floor (0.331172943115234 × 131072)
    floor (43407.5)     		ty = 43407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56209 / 43407 ti = "17/56209/43407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56209/43407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56209 ÷ 217
    56209 ÷ 131072     		x = 0.428840637207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43407 ÷ 217
    43407 ÷ 131072     		y = 0.331169128417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428840637207031 × 2 - 1) × π
    -0.142318725585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.44710746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331169128417969 × 2 - 1) × π
    0.337661743164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.06079565169222
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44710746} λ = -0.44710746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06079565169222))-π/2
    2×atan(2.88866844909765)-π/2
    2×1.23752843672698-π/2
    2.47505687345397-1.57079632675     		φ = 0.90426055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44710746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.617370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90426055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.810313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56209 KachelY 43407 -0.44710746 0.90426055 -25.617370 51.810313
    Oben rechts KachelX + 1 56210 KachelY 43407 -0.44705953 0.90426055 -25.614624 51.810313
    Unten links KachelX 56209 KachelY + 1 43408 -0.44710746 0.90423091 -25.617370 51.808615
    Unten rechts KachelX + 1 56210 KachelY + 1 43408 -0.44705953 0.90423091 -25.614624 51.808615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90426055-0.90423091) × R
    2.9640000000053e-05 × 6371000     		dl = 188.836440000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90426055-0.90423091) × R
    2.9640000000053e-05 × 6371000     		dr = 188.836440000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44710746--0.44705953) × cos(0.90426055) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.618266933090237 × 6371000     		do = 188.795245770425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44710746--0.44705953) × cos(0.90423091) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.618290228915873 × 6371000     		du = 188.802359431031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90426055)-sin(0.90423091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618266933090237-0.618290228915873)×R²
    abs(-0.44705953--0.44710746)×2.32958256360938e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32958256360938e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32958256360938e-05×40589641000000     		ar = 35652.0937621188m²