Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56209 / 16241
↖ ↑ ↗
← N 79.244876°
W 25.617370°		 ← 56.98 m → N 79.244876°
W 25.614624°		 →
↑
57.02 m
↓
↑
57.02 m
↓
N 79.244363°
W 25.617370°		 ← 56.99 m →
3 249 m²		 N 79.244363°
W 25.614624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428844451904297 y=0.123912811279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428844451904297 × 217)
    floor (0.428844451904297 × 131072)
    floor (56209.5)     		tx = 56209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123912811279297 × 217)
    floor (0.123912811279297 × 131072)
    floor (16241.5)     		ty = 16241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56209 / 16241 ti = "17/56209/16241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56209/16241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56209 ÷ 217
    56209 ÷ 131072     		x = 0.428840637207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16241 ÷ 217
    16241 ÷ 131072     		y = 0.123908996582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428840637207031 × 2 - 1) × π
    -0.142318725585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.44710746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123908996582031 × 2 - 1) × π
    0.752182006835938 × 3.1415926535     		Φ = 2.36304946677067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44710746} λ = -0.44710746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36304946677067))-π/2
    2×atan(10.6232975009917)-π/2
    2×1.47694016324703-π/2
    2.95388032649405-1.57079632675     		φ = 1.38308400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44710746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.617370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38308400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.244876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56209 KachelY 16241 -0.44710746 1.38308400 -25.617370 79.244876
    Oben rechts KachelX + 1 56210 KachelY 16241 -0.44705953 1.38308400 -25.614624 79.244876
    Unten links KachelX 56209 KachelY + 1 16242 -0.44710746 1.38307505 -25.617370 79.244363
    Unten rechts KachelX + 1 56210 KachelY + 1 16242 -0.44705953 1.38307505 -25.614624 79.244363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38308400-1.38307505) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dl = 57.0204500000482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38308400-1.38307505) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dr = 57.0204500000482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44710746--0.44705953) × cos(1.38308400) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186611897968566 × 6371000     		do = 56.984187985869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44710746--0.44705953) × cos(1.38307505) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186620690742819 × 6371000     		du = 56.9868729652643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38308400)-sin(1.38307505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186611897968566-0.186620690742819)×R²
    abs(-0.44705953--0.44710746)×8.79277425308578e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.79277425308578e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.79277425308578e-06×40589641000000     		ar = 3249.3405910725m²