Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56208 / 43440
↖ ↑ ↗
← N 51.754240°
W 25.620117°		 ← 189.07 m → N 51.754240°
W 25.617370°		 →
↑
189.03 m
↓
↑
189.03 m
↓
N 51.752540°
W 25.620117°		 ← 189.08 m →
35 740 m²		 N 51.752540°
W 25.617370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428836822509766 y=0.331424713134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428836822509766 × 217)
    floor (0.428836822509766 × 131072)
    floor (56208.5)     		tx = 56208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331424713134766 × 217)
    floor (0.331424713134766 × 131072)
    floor (43440.5)     		ty = 43440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56208 / 43440 ti = "17/56208/43440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56208/43440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56208 ÷ 217
    56208 ÷ 131072     		x = 0.4288330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43440 ÷ 217
    43440 ÷ 131072     		y = 0.3314208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4288330078125 × 2 - 1) × π
    -0.142333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44715540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3314208984375 × 2 - 1) × π
    0.337158203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05921373400476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44715540} λ = -0.44715540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05921373400476))-π/2
    2×atan(2.88410242587345)-π/2
    2×1.23703910896782-π/2
    2.47407821793563-1.57079632675     		φ = 0.90328189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44715540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.620117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90328189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.754240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56208 KachelY 43440 -0.44715540 0.90328189 -25.620117 51.754240
    Oben rechts KachelX + 1 56209 KachelY 43440 -0.44710746 0.90328189 -25.617370 51.754240
    Unten links KachelX 56208 KachelY + 1 43441 -0.44715540 0.90325222 -25.620117 51.752540
    Unten rechts KachelX + 1 56209 KachelY + 1 43441 -0.44710746 0.90325222 -25.617370 51.752540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90328189-0.90325222) × R
    2.96699999999817e-05 × 6371000     		dl = 189.027569999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90328189-0.90325222) × R
    2.96699999999817e-05 × 6371000     		dr = 189.027569999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44715540--0.44710746) × cos(0.90328189) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.61903583251821 × 6371000     		do = 189.069477233266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44715540--0.44710746) × cos(0.90325222) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.619059133958319 × 6371000     		du = 189.076594092855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90328189)-sin(0.90325222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61903583251821-0.619059133958319)×R²
    abs(-0.44710746--0.44715540)×2.33014401094245e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33014401094245e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33014401094245e-05×40589641000000     		ar = 35740.0164866343m²