Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56207 / 44497
↖ ↑ ↗
← N 49.921167°
W 25.622864°		 ← 196.65 m → N 49.921167°
W 25.620117°		 →
↑
196.61 m
↓
↑
196.61 m
↓
N 49.919399°
W 25.622864°		 ← 196.65 m →
38 663 m²		 N 49.919399°
W 25.620117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428829193115234 y=0.339488983154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428829193115234 × 217)
    floor (0.428829193115234 × 131072)
    floor (56207.5)     		tx = 56207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339488983154297 × 217)
    floor (0.339488983154297 × 131072)
    floor (44497.5)     		ty = 44497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56207 / 44497 ti = "17/56207/44497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56207/44497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56207 ÷ 217
    56207 ÷ 131072     		x = 0.428825378417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44497 ÷ 217
    44497 ÷ 131072     		y = 0.339485168457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428825378417969 × 2 - 1) × π
    -0.142349243164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.44720334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339485168457031 × 2 - 1) × π
    0.321029663085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.00854443110636
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44720334} λ = -0.44720334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00854443110636))-π/2
    2×atan(2.74160751070053)-π/2
    2×1.22104252977136-π/2
    2.44208505954272-1.57079632675     		φ = 0.87128873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44720334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.622864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87128873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.921167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56207 KachelY 44497 -0.44720334 0.87128873 -25.622864 49.921167
    Oben rechts KachelX + 1 56208 KachelY 44497 -0.44715540 0.87128873 -25.620117 49.921167
    Unten links KachelX 56207 KachelY + 1 44498 -0.44720334 0.87125787 -25.622864 49.919399
    Unten rechts KachelX + 1 56208 KachelY + 1 44498 -0.44715540 0.87125787 -25.620117 49.919399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87128873-0.87125787) × R
    3.08599999999659e-05 × 6371000     		dl = 196.609059999783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87128873-0.87125787) × R
    3.08599999999659e-05 × 6371000     		dr = 196.609059999783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44720334--0.44715540) × cos(0.87128873) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.643840998409689 × 6371000     		do = 196.645613381717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44720334--0.44715540) × cos(0.87125787) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.643864610919396 × 6371000     		du = 196.652825249967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87128873)-sin(0.87125787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643840998409689-0.643864610919396)×R²
    abs(-0.44715540--0.44720334)×2.36125097067275e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36125097067275e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36125097067275e-05×40589641000000     		ar = 38663.0181624177m²