Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56206 / 44158
↖ ↑ ↗
← N 50.516919°
W 25.625610°		 ← 194.16 m → N 50.516919°
W 25.622864°		 →
↑
194.19 m
↓
↑
194.19 m
↓
N 50.515173°
W 25.625610°		 ← 194.17 m →
37 705 m²		 N 50.515173°
W 25.622864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428821563720703 y=0.336902618408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428821563720703 × 217)
    floor (0.428821563720703 × 131072)
    floor (56206.5)     		tx = 56206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336902618408203 × 217)
    floor (0.336902618408203 × 131072)
    floor (44158.5)     		ty = 44158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56206 / 44158 ti = "17/56206/44158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56206/44158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56206 ÷ 217
    56206 ÷ 131072     		x = 0.428817749023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44158 ÷ 217
    44158 ÷ 131072     		y = 0.336898803710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428817749023438 × 2 - 1) × π
    -0.142364501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44725127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336898803710938 × 2 - 1) × π
    0.326202392578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02479504007756
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44725127} λ = -0.44725127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02479504007756))-π/2
    2×atan(2.78652427623337)-π/2
    2×1.22624144988382-π/2
    2.45248289976763-1.57079632675     		φ = 0.88168657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44725127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.625610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88168657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.516919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56206 KachelY 44158 -0.44725127 0.88168657 -25.625610 50.516919
    Oben rechts KachelX + 1 56207 KachelY 44158 -0.44720334 0.88168657 -25.622864 50.516919
    Unten links KachelX 56206 KachelY + 1 44159 -0.44725127 0.88165609 -25.625610 50.515173
    Unten rechts KachelX + 1 56207 KachelY + 1 44159 -0.44720334 0.88165609 -25.622864 50.515173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88168657-0.88165609) × R
    3.04799999999439e-05 × 6371000     		dl = 194.188079999642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88168657-0.88165609) × R
    3.04799999999439e-05 × 6371000     		dr = 194.188079999642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44725127--0.44720334) × cos(0.88168657) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.635850333550012 × 6371000     		do = 194.164548628903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44725127--0.44720334) × cos(0.88165609) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.635873858096056 × 6371000     		du = 194.171732132038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88168657)-sin(0.88165609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635850333550012-0.635873858096056)×R²
    abs(-0.44720334--0.44725127)×2.35245460438183e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.35245460438183e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.35245460438183e-05×40589641000000     		ar = 37705.1383803854m²