Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56205 / 43195
↖ ↑ ↗
← N 52.168878°
W 25.628357°		 ← 187.33 m → N 52.168878°
W 25.625610°		 →
↑
187.31 m
↓
↑
187.31 m
↓
N 52.167194°
W 25.628357°		 ← 187.34 m →
35 089 m²		 N 52.167194°
W 25.625610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428813934326172 y=0.329555511474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428813934326172 × 217)
    floor (0.428813934326172 × 131072)
    floor (56205.5)     		tx = 56205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329555511474609 × 217)
    floor (0.329555511474609 × 131072)
    floor (43195.5)     		ty = 43195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56205 / 43195 ti = "17/56205/43195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56205/43195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56205 ÷ 217
    56205 ÷ 131072     		x = 0.428810119628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43195 ÷ 217
    43195 ÷ 131072     		y = 0.329551696777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428810119628906 × 2 - 1) × π
    -0.142379760742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.44729921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329551696777344 × 2 - 1) × π
    0.340896606445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.07095827441167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44729921} λ = -0.44729921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07095827441167))-π/2
    2×atan(2.91817457256152)-π/2
    2×1.24065750961495-π/2
    2.4813150192299-1.57079632675     		φ = 0.91051869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44729921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.628357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91051869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.168878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56205 KachelY 43195 -0.44729921 0.91051869 -25.628357 52.168878
    Oben rechts KachelX + 1 56206 KachelY 43195 -0.44725127 0.91051869 -25.625610 52.168878
    Unten links KachelX 56205 KachelY + 1 43196 -0.44729921 0.91048929 -25.628357 52.167194
    Unten rechts KachelX + 1 56206 KachelY + 1 43196 -0.44725127 0.91048929 -25.625610 52.167194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91051869-0.91048929) × R
    2.93999999999572e-05 × 6371000     		dl = 187.307399999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91051869-0.91048929) × R
    2.93999999999572e-05 × 6371000     		dr = 187.307399999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44729921--0.44725127) × cos(0.91051869) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.613336159251568 × 6371000     		do = 187.328650308262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44729921--0.44725127) × cos(0.91048929) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.613359379752624 × 6371000     		du = 187.33574244698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91051869)-sin(0.91048929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613336159251568-0.613359379752624)×R²
    abs(-0.44725127--0.44729921)×2.3220501056298e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3220501056298e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3220501056298e-05×40589641000000     		ar = 35088.7066420984m²