Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56205 / 17277
↖ ↑ ↗
← N 78.700721°
W 25.628357°		 ← 59.84 m → N 78.700721°
W 25.625610°		 →
↑
59.89 m
↓
↑
59.89 m
↓
N 78.700182°
W 25.628357°		 ← 59.85 m →
3 584 m²		 N 78.700182°
W 25.625610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428813934326172 y=0.131816864013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428813934326172 × 217)
    floor (0.428813934326172 × 131072)
    floor (56205.5)     		tx = 56205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131816864013672 × 217)
    floor (0.131816864013672 × 131072)
    floor (17277.5)     		ty = 17277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56205 / 17277 ti = "17/56205/17277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56205/17277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56205 ÷ 217
    56205 ÷ 131072     		x = 0.428810119628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17277 ÷ 217
    17277 ÷ 131072     		y = 0.131813049316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428810119628906 × 2 - 1) × π
    -0.142379760742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.44729921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131813049316406 × 2 - 1) × π
    0.736373901367188 × 3.1415926535     		Φ = 2.31338683876429
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44729921} λ = -0.44729921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31338683876429))-π/2
    2×atan(10.1086029524838)-π/2
    2×1.47219151146166-π/2
    2.94438302292332-1.57079632675     		φ = 1.37358670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44729921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.628357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37358670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.700721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56205 KachelY 17277 -0.44729921 1.37358670 -25.628357 78.700721
    Oben rechts KachelX + 1 56206 KachelY 17277 -0.44725127 1.37358670 -25.625610 78.700721
    Unten links KachelX 56205 KachelY + 1 17278 -0.44729921 1.37357730 -25.628357 78.700182
    Unten rechts KachelX + 1 56206 KachelY + 1 17278 -0.44725127 1.37357730 -25.625610 78.700182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37358670-1.37357730) × R
    9.39999999993724e-06 × 6371000     		dl = 59.8873999996001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37358670-1.37357730) × R
    9.39999999993724e-06 × 6371000     		dr = 59.8873999996001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44729921--0.44725127) × cos(1.37358670) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.19593380938857 × 6371000     		do = 59.8432287235529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44729921--0.44725127) × cos(1.37357730) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.195943027180871 × 6371000     		du = 59.8460440745878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37358670)-sin(1.37357730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19593380938857-0.195943027180871)×R²
    abs(-0.44725127--0.44729921)×9.21779230164677e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.21779230164677e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.21779230164677e-06×40589641000000     		ar = 3583.93967779861m²