Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56204 / 86413
↖ ↑ ↗
← S 49.633841°
W 25.631104°		 ← 197.82 m → S 49.633841°
W 25.628357°		 →
↑
197.82 m
↓
↑
197.82 m
↓
S 49.635620°
W 25.631104°		 ← 197.81 m →
39 131 m²		 S 49.635620°
W 25.628357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428806304931641 y=0.659282684326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428806304931641 × 217)
    floor (0.428806304931641 × 131072)
    floor (56204.5)     		tx = 56204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659282684326172 × 217)
    floor (0.659282684326172 × 131072)
    floor (86413.5)     		ty = 86413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56204 / 86413 ti = "17/56204/86413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56204/86413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56204 ÷ 217
    56204 ÷ 131072     		x = 0.428802490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86413 ÷ 217
    86413 ÷ 131072     		y = 0.659278869628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428802490234375 × 2 - 1) × π
    -0.14239501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44734715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659278869628906 × 2 - 1) × π
    -0.318557739257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.00077865336791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44734715} λ = -0.44734715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00077865336791))-π/2
    2×atan(0.367593102099497)-π/2
    2×0.352261191762775-π/2
    0.704522383525551-1.57079632675     		φ = -0.86627394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44734715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.631104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86627394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.633841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56204 KachelY 86413 -0.44734715 -0.86627394 -25.631104 -49.633841
    Oben rechts KachelX + 1 56205 KachelY 86413 -0.44729921 -0.86627394 -25.628357 -49.633841
    Unten links KachelX 56204 KachelY + 1 86414 -0.44734715 -0.86630499 -25.631104 -49.635620
    Unten rechts KachelX + 1 56205 KachelY + 1 86414 -0.44729921 -0.86630499 -25.628357 -49.635620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86627394--0.86630499) × R
    3.10500000000324e-05 × 6371000     		dl = 197.819550000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86627394--0.86630499) × R
    3.10500000000324e-05 × 6371000     		dr = 197.819550000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44734715--0.44729921) × cos(-0.86627394) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.647669999902242 × 6371000     		do = 197.815088996041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44734715--0.44729921) × cos(-0.86630499) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.64764634194378 × 6371000     		du = 197.807863246572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86627394)-sin(-0.86630499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647669999902242-0.64764634194378)×R²
    abs(-0.44729921--0.44734715)×2.36579584613761e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36579584613761e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36579584613761e-05×40589641000000     		ar = 39130.9771943655m²