Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56204 / 43196
↖ ↑ ↗
← N 52.167194°
W 25.631104°		 ← 187.34 m → N 52.167194°
W 25.628357°		 →
↑
187.31 m
↓
↑
187.31 m
↓
N 52.165509°
W 25.631104°		 ← 187.34 m →
35 090 m²		 N 52.165509°
W 25.628357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428806304931641 y=0.329563140869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428806304931641 × 217)
    floor (0.428806304931641 × 131072)
    floor (56204.5)     		tx = 56204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329563140869141 × 217)
    floor (0.329563140869141 × 131072)
    floor (43196.5)     		ty = 43196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56204 / 43196 ti = "17/56204/43196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56204/43196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56204 ÷ 217
    56204 ÷ 131072     		x = 0.428802490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43196 ÷ 217
    43196 ÷ 131072     		y = 0.329559326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428802490234375 × 2 - 1) × π
    -0.14239501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44734715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329559326171875 × 2 - 1) × π
    0.34088134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.07091033751205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44734715} λ = -0.44734715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07091033751205))-π/2
    2×atan(2.91803468767282)-π/2
    2×1.24064280861975-π/2
    2.4812856172395-1.57079632675     		φ = 0.91048929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44734715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.631104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91048929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.167194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56204 KachelY 43196 -0.44734715 0.91048929 -25.631104 52.167194
    Oben rechts KachelX + 1 56205 KachelY 43196 -0.44729921 0.91048929 -25.628357 52.167194
    Unten links KachelX 56204 KachelY + 1 43197 -0.44734715 0.91045989 -25.631104 52.165509
    Unten rechts KachelX + 1 56205 KachelY + 1 43197 -0.44729921 0.91045989 -25.628357 52.165509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91048929-0.91045989) × R
    2.93999999999572e-05 × 6371000     		dl = 187.307399999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91048929-0.91045989) × R
    2.93999999999572e-05 × 6371000     		dr = 187.307399999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44734715--0.44729921) × cos(0.91048929) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.613359379752624 × 6371000     		do = 187.33574244698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44734715--0.44729921) × cos(0.91045989) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.613382599723517 × 6371000     		du = 187.342834423773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91048929)-sin(0.91045989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613359379752624-0.613382599723517)×R²
    abs(-0.44729921--0.44734715)×2.32199708929404e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32199708929404e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32199708929404e-05×40589641000000     		ar = 35090.0350371723m²