Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56203 / 86389
↖ ↑ ↗
← S 49.591129°
W 25.633850°		 ← 197.95 m → S 49.591129°
W 25.631104°		 →
↑
198.01 m
↓
↑
198.01 m
↓
S 49.592910°
W 25.633850°		 ← 197.94 m →
39 195 m²		 S 49.592910°
W 25.631104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428798675537109 y=0.659099578857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428798675537109 × 217)
    floor (0.428798675537109 × 131072)
    floor (56203.5)     		tx = 56203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659099578857422 × 217)
    floor (0.659099578857422 × 131072)
    floor (86389.5)     		ty = 86389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56203 / 86389 ti = "17/56203/86389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56203/86389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56203 ÷ 217
    56203 ÷ 131072     		x = 0.428794860839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86389 ÷ 217
    86389 ÷ 131072     		y = 0.659095764160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428794860839844 × 2 - 1) × π
    -0.142410278320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.44739508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659095764160156 × 2 - 1) × π
    -0.318191528320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.999628167777031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44739508} λ = -0.44739508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.999628167777031))-π/2
    2×atan(0.368016256036349)-π/2
    2×0.352633922568261-π/2
    0.705267845136522-1.57079632675     		φ = -0.86552848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44739508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.633850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86552848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.591129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56203 KachelY 86389 -0.44739508 -0.86552848 -25.633850 -49.591129
    Oben rechts KachelX + 1 56204 KachelY 86389 -0.44734715 -0.86552848 -25.631104 -49.591129
    Unten links KachelX 56203 KachelY + 1 86390 -0.44739508 -0.86555956 -25.633850 -49.592910
    Unten rechts KachelX + 1 56204 KachelY + 1 86390 -0.44734715 -0.86555956 -25.631104 -49.592910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86552848--0.86555956) × R
    3.10799999999611e-05 × 6371000     		dl = 198.010679999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86552848--0.86555956) × R
    3.10799999999611e-05 × 6371000     		dr = 198.010679999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44739508--0.44734715) × cos(-0.86552848) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.648237801500673 × 6371000     		do = 197.947210988874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44739508--0.44734715) × cos(-0.86555956) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.648214135696082 × 6371000     		du = 197.939984350743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86552848)-sin(-0.86555956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648237801500673-0.648214135696082)×R²
    abs(-0.44734715--0.44739508)×2.36658045906779e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36658045906779e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36658045906779e-05×40589641000000     		ar = 39194.946379473m²