Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56203 / 43409
↖ ↑ ↗
← N 51.806917°
W 25.633850°		 ← 188.81 m → N 51.806917°
W 25.631104°		 →
↑
188.84 m
↓
↑
188.84 m
↓
N 51.805218°
W 25.633850°		 ← 188.82 m →
35 655 m²		 N 51.805218°
W 25.631104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428798675537109 y=0.331188201904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428798675537109 × 217)
    floor (0.428798675537109 × 131072)
    floor (56203.5)     		tx = 56203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331188201904297 × 217)
    floor (0.331188201904297 × 131072)
    floor (43409.5)     		ty = 43409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56203 / 43409 ti = "17/56203/43409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56203/43409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56203 ÷ 217
    56203 ÷ 131072     		x = 0.428794860839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43409 ÷ 217
    43409 ÷ 131072     		y = 0.331184387207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428794860839844 × 2 - 1) × π
    -0.142410278320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.44739508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331184387207031 × 2 - 1) × π
    0.337631225585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.06069977789298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44739508} λ = -0.44739508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06069977789298))-π/2
    2×atan(2.88839151475428)-π/2
    2×1.23749879781028-π/2
    2.47499759562055-1.57079632675     		φ = 0.90420127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44739508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.633850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90420127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.806917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56203 KachelY 43409 -0.44739508 0.90420127 -25.633850 51.806917
    Oben rechts KachelX + 1 56204 KachelY 43409 -0.44734715 0.90420127 -25.631104 51.806917
    Unten links KachelX 56203 KachelY + 1 43410 -0.44739508 0.90417163 -25.633850 51.805218
    Unten rechts KachelX + 1 56204 KachelY + 1 43410 -0.44734715 0.90417163 -25.631104 51.805218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90420127-0.90417163) × R
    2.96399999999419e-05 × 6371000     		dl = 188.83643999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90420127-0.90417163) × R
    2.96399999999419e-05 × 6371000     		dr = 188.83643999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44739508--0.44734715) × cos(0.90420127) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.618313524198323 × 6371000     		do = 188.809472925551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44739508--0.44734715) × cos(0.90417163) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.618336818937566 × 6371000     		du = 188.816586254415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90420127)-sin(0.90417163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618313524198323-0.618336818937566)×R²
    abs(-0.44734715--0.44739508)×2.32947392430072e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.32947392430072e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.32947392430072e-05×40589641000000     		ar = 35654.7803359359m²