Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56203 / 16474
↖ ↑ ↗
← N 79.124795°
W 25.633850°		 ← 57.61 m → N 79.124795°
W 25.631104°		 →
↑
57.59 m
↓
↑
57.59 m
↓
N 79.124277°
W 25.633850°		 ← 57.62 m →
3 318 m²		 N 79.124277°
W 25.631104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428798675537109 y=0.125690460205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428798675537109 × 217)
    floor (0.428798675537109 × 131072)
    floor (56203.5)     		tx = 56203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125690460205078 × 217)
    floor (0.125690460205078 × 131072)
    floor (16474.5)     		ty = 16474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56203 / 16474 ti = "17/56203/16474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56203/16474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56203 ÷ 217
    56203 ÷ 131072     		x = 0.428794860839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16474 ÷ 217
    16474 ÷ 131072     		y = 0.125686645507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428794860839844 × 2 - 1) × π
    -0.142410278320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.44739508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125686645507812 × 2 - 1) × π
    0.748626708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.3518801691592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44739508} λ = -0.44739508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3518801691592))-π/2
    2×atan(10.505302914595)-π/2
    2×1.47589226325494-π/2
    2.95178452650987-1.57079632675     		φ = 1.38098820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44739508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.633850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38098820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.124795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56203 KachelY 16474 -0.44739508 1.38098820 -25.633850 79.124795
    Oben rechts KachelX + 1 56204 KachelY 16474 -0.44734715 1.38098820 -25.631104 79.124795
    Unten links KachelX 56203 KachelY + 1 16475 -0.44739508 1.38097916 -25.633850 79.124277
    Unten rechts KachelX + 1 56204 KachelY + 1 16475 -0.44734715 1.38097916 -25.631104 79.124277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38098820-1.38097916) × R
    9.03999999990468e-06 × 6371000     		dl = 57.5938399993927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38098820-1.38097916) × R
    9.03999999990468e-06 × 6371000     		dr = 57.5938399993927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44739508--0.44734715) × cos(1.38098820) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.188670471201189 × 6371000     		do = 57.6127980870201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44739508--0.44734715) × cos(1.38097916) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.188679348839183 × 6371000     		du = 57.6155089805797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38098820)-sin(1.38097916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188670471201189-0.188679348839183)×R²
    abs(-0.44734715--0.44739508)×8.87763799473085e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.87763799473085e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.87763799473085e-06×40589641000000     		ar = 3318.22034043537m²