Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56203 / 14280
↖ ↑ ↗
← N 80.204915°
W 25.633850°		 ← 51.95 m → N 80.204915°
W 25.631104°		 →
↑
51.99 m
↓
↑
51.99 m
↓
N 80.204447°
W 25.633850°		 ← 51.95 m →
2 701 m²		 N 80.204447°
W 25.631104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428798675537109 y=0.108951568603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428798675537109 × 217)
    floor (0.428798675537109 × 131072)
    floor (56203.5)     		tx = 56203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108951568603516 × 217)
    floor (0.108951568603516 × 131072)
    floor (14280.5)     		ty = 14280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56203 / 14280 ti = "17/56203/14280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56203/14280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56203 ÷ 217
    56203 ÷ 131072     		x = 0.428794860839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14280 ÷ 217
    14280 ÷ 131072     		y = 0.10894775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428794860839844 × 2 - 1) × π
    -0.142410278320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.44739508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10894775390625 × 2 - 1) × π
    0.7821044921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4570537269256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44739508} λ = -0.44739508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4570537269256))-π/2
    2×atan(11.670376720999)-π/2
    2×1.48531808332044-π/2
    2.97063616664087-1.57079632675     		φ = 1.39983984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44739508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.633850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39983984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.204915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56203 KachelY 14280 -0.44739508 1.39983984 -25.633850 80.204915
    Oben rechts KachelX + 1 56204 KachelY 14280 -0.44734715 1.39983984 -25.631104 80.204915
    Unten links KachelX 56203 KachelY + 1 14281 -0.44739508 1.39983168 -25.633850 80.204447
    Unten rechts KachelX + 1 56204 KachelY + 1 14281 -0.44734715 1.39983168 -25.631104 80.204447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39983984-1.39983168) × R
    8.16000000014583e-06 × 6371000     		dl = 51.9873600009291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39983984-1.39983168) × R
    8.16000000014583e-06 × 6371000     		dr = 51.9873600009291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44739508--0.44734715) × cos(1.39983984) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.170124970348388 × 6371000     		do = 51.9497062992453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44739508--0.44734715) × cos(1.39983168) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.170133011390287 × 6371000     		du = 51.9521617281228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39983984)-sin(1.39983168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170124970348388-0.170133011390287)×R²
    abs(-0.44734715--0.44739508)×8.04104189866539e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.04104189866539e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.04104189866539e-06×40589641000000     		ar = 2700.79190905511m²