Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56201 / 86405
↖ ↑ ↗
← S 49.619608°
W 25.639343°		 ← 197.87 m → S 49.619608°
W 25.636597°		 →
↑
197.82 m
↓
↑
197.82 m
↓
S 49.621387°
W 25.639343°		 ← 197.87 m →
39 142 m²		 S 49.621387°
W 25.636597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428783416748047 y=0.659221649169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428783416748047 × 217)
    floor (0.428783416748047 × 131072)
    floor (56201.5)     		tx = 56201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659221649169922 × 217)
    floor (0.659221649169922 × 131072)
    floor (86405.5)     		ty = 86405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56201 / 86405 ti = "17/56201/86405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56201/86405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56201 ÷ 217
    56201 ÷ 131072     		x = 0.428779602050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86405 ÷ 217
    86405 ÷ 131072     		y = 0.659217834472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428779602050781 × 2 - 1) × π
    -0.142440795898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.44749096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659217834472656 × 2 - 1) × π
    -0.318435668945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.00039515817095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44749096} λ = -0.44749096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00039515817095))-π/2
    2×atan(0.367734099322739)-π/2
    2×0.352385399073481-π/2
    0.704770798146963-1.57079632675     		φ = -0.86602553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44749096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.639343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86602553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.619608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56201 KachelY 86405 -0.44749096 -0.86602553 -25.639343 -49.619608
    Oben rechts KachelX + 1 56202 KachelY 86405 -0.44744302 -0.86602553 -25.636597 -49.619608
    Unten links KachelX 56201 KachelY + 1 86406 -0.44749096 -0.86605658 -25.639343 -49.621387
    Unten rechts KachelX + 1 56202 KachelY + 1 86406 -0.44744302 -0.86605658 -25.636597 -49.621387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86602553--0.86605658) × R
    3.10499999999214e-05 × 6371000     		dl = 197.819549999499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86602553--0.86605658) × R
    3.10499999999214e-05 × 6371000     		dr = 197.819549999499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44749096--0.44744302) × cos(-0.86602553) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.647859248706488 × 6371000     		do = 197.872890451893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44749096--0.44744302) × cos(-0.86605658) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.647835595744229 × 6371000     		du = 197.865666228392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86602553)-sin(-0.86605658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647859248706488-0.647835595744229)×R²
    abs(-0.44744302--0.44749096)×2.36529622593684e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36529622593684e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36529622593684e-05×40589641000000     		ar = 39142.4116032668m²