Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56201 / 17274
↖ ↑ ↗
← N 78.702335°
W 25.639343°		 ← 59.83 m → N 78.702335°
W 25.636597°		 →
↑
59.82 m
↓
↑
59.82 m
↓
N 78.701797°
W 25.639343°		 ← 59.84 m →
3 580 m²		 N 78.701797°
W 25.636597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428783416748047 y=0.131793975830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428783416748047 × 217)
    floor (0.428783416748047 × 131072)
    floor (56201.5)     		tx = 56201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131793975830078 × 217)
    floor (0.131793975830078 × 131072)
    floor (17274.5)     		ty = 17274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56201 / 17274 ti = "17/56201/17274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56201/17274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56201 ÷ 217
    56201 ÷ 131072     		x = 0.428779602050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17274 ÷ 217
    17274 ÷ 131072     		y = 0.131790161132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428779602050781 × 2 - 1) × π
    -0.142440795898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.44749096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131790161132812 × 2 - 1) × π
    0.736419677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.31353064946315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44749096} λ = -0.44749096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31353064946315))-π/2
    2×atan(10.1100567822745)-π/2
    2×1.47220559915759-π/2
    2.94441119831518-1.57079632675     		φ = 1.37361487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44749096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.639343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37361487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.702335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56201 KachelY 17274 -0.44749096 1.37361487 -25.639343 78.702335
    Oben rechts KachelX + 1 56202 KachelY 17274 -0.44744302 1.37361487 -25.636597 78.702335
    Unten links KachelX 56201 KachelY + 1 17275 -0.44749096 1.37360548 -25.639343 78.701797
    Unten rechts KachelX + 1 56202 KachelY + 1 17275 -0.44744302 1.37360548 -25.636597 78.701797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37361487-1.37360548) × R
    9.38999999999801e-06 × 6371000     		dl = 59.8236899999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37361487-1.37360548) × R
    9.38999999999801e-06 × 6371000     		dr = 59.8236899999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44749096--0.44744302) × cos(1.37361487) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195906185326471 × 6371000     		do = 59.8347916238753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44749096--0.44744302) × cos(1.37360548) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195915393364445 × 6371000     		du = 59.8376039956875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37361487)-sin(1.37360548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195906185326471-0.195915393364445)×R²
    abs(-0.44744302--0.44749096)×9.20803797413439e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.20803797413439e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.20803797413439e-06×40589641000000     		ar = 3579.62214849692m²