Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56200 / 86404
↖ ↑ ↗
← S 49.617828°
W 25.642090°		 ← 197.84 m → S 49.617828°
W 25.639343°		 →
↑
197.88 m
↓
↑
197.88 m
↓
S 49.619608°
W 25.642090°		 ← 197.83 m →
39 148 m²		 S 49.619608°
W 25.639343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428775787353516 y=0.659214019775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428775787353516 × 217)
    floor (0.428775787353516 × 131072)
    floor (56200.5)     		tx = 56200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659214019775391 × 217)
    floor (0.659214019775391 × 131072)
    floor (86404.5)     		ty = 86404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56200 / 86404 ti = "17/56200/86404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56200/86404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56200 ÷ 217
    56200 ÷ 131072     		x = 0.42877197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86404 ÷ 217
    86404 ÷ 131072     		y = 0.659210205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42877197265625 × 2 - 1) × π
    -0.1424560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44753889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659210205078125 × 2 - 1) × π
    -0.31842041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00034722127133
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44753889} λ = -0.44753889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00034722127133))-π/2
    2×atan(0.367751727777869)-π/2
    2×0.35240092753891-π/2
    0.704801855077821-1.57079632675     		φ = -0.86599447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44753889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.642090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86599447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.617828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56200 KachelY 86404 -0.44753889 -0.86599447 -25.642090 -49.617828
    Oben rechts KachelX + 1 56201 KachelY 86404 -0.44749096 -0.86599447 -25.639343 -49.617828
    Unten links KachelX 56200 KachelY + 1 86405 -0.44753889 -0.86602553 -25.642090 -49.619608
    Unten rechts KachelX + 1 56201 KachelY + 1 86405 -0.44749096 -0.86602553 -25.639343 -49.619608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86599447--0.86602553) × R
    3.10600000000827e-05 × 6371000     		dl = 197.883260000527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86599447--0.86602553) × R
    3.10600000000827e-05 × 6371000     		dr = 197.883260000527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44753889--0.44749096) × cos(-0.86599447) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.647882908661544 × 6371000     		do = 197.838840191315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44753889--0.44749096) × cos(-0.86602553) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.647859248706488 × 6371000     		du = 197.831615339409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86599447)-sin(-0.86602553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647882908661544-0.647859248706488)×R²
    abs(-0.44749096--0.44753889)×2.36599550562655e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36599550562655e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36599550562655e-05×40589641000000     		ar = 39148.2798161531m²