Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56200 / 16471
↖ ↑ ↗
← N 79.126350°
W 25.642090°		 ← 57.60 m → N 79.126350°
W 25.639343°		 →
↑
57.59 m
↓
↑
57.59 m
↓
N 79.125832°
W 25.642090°		 ← 57.61 m →
3 318 m²		 N 79.125832°
W 25.639343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428775787353516 y=0.125667572021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428775787353516 × 217)
    floor (0.428775787353516 × 131072)
    floor (56200.5)     		tx = 56200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125667572021484 × 217)
    floor (0.125667572021484 × 131072)
    floor (16471.5)     		ty = 16471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56200 / 16471 ti = "17/56200/16471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56200/16471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56200 ÷ 217
    56200 ÷ 131072     		x = 0.42877197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16471 ÷ 217
    16471 ÷ 131072     		y = 0.125663757324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42877197265625 × 2 - 1) × π
    -0.1424560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44753889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125663757324219 × 2 - 1) × π
    0.748672485351562 × 3.1415926535     		Φ = 2.35202397985806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44753889} λ = -0.44753889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35202397985806))-π/2
    2×atan(10.5068137981869)-π/2
    2×1.47590582871318-π/2
    2.95181165742636-1.57079632675     		φ = 1.38101533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44753889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.642090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38101533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.126350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56200 KachelY 16471 -0.44753889 1.38101533 -25.642090 79.126350
    Oben rechts KachelX + 1 56201 KachelY 16471 -0.44749096 1.38101533 -25.639343 79.126350
    Unten links KachelX 56200 KachelY + 1 16472 -0.44753889 1.38100629 -25.642090 79.125832
    Unten rechts KachelX + 1 56201 KachelY + 1 16472 -0.44749096 1.38100629 -25.639343 79.125832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38101533-1.38100629) × R
    9.04000000012672e-06 × 6371000     		dl = 57.5938400008074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38101533-1.38100629) × R
    9.04000000012672e-06 × 6371000     		dr = 57.5938400008074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44753889--0.44749096) × cos(1.38101533) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.188643828374241 × 6371000     		do = 57.604662379365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44753889--0.44749096) × cos(1.38100629) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.188652706058506 × 6371000     		du = 57.6073732870539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38101533)-sin(1.38100629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188643828374241-0.188652706058506)×R²
    abs(-0.44749096--0.44753889)×8.87768426519053e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.87768426519053e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.87768426519053e-06×40589641000000     		ar = 3317.75177408183m²