Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5620 / 9764
↖ ↑ ↗
← S 32.620870°
W 56.513672°		 ← 2 057.87 m → S 32.620870°
W 56.491699°		 →
↑
2 057.64 m
↓
↑
2 057.64 m
↓
S 32.639375°
W 56.513672°		 ← 2 057.44 m →
4 233 914 m²		 S 32.639375°
W 56.491699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343048095703125 y=0.595977783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343048095703125 × 214)
    floor (0.343048095703125 × 16384)
    floor (5620.5)     		tx = 5620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595977783203125 × 214)
    floor (0.595977783203125 × 16384)
    floor (9764.5)     		ty = 9764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5620 / 9764 ti = "14/5620/9764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5620/9764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5620 ÷ 214
    5620 ÷ 16384     		x = 0.343017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9764 ÷ 214
    9764 ÷ 16384     		y = 0.595947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343017578125 × 2 - 1) × π
    -0.31396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.98634965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595947265625 × 2 - 1) × π
    -0.19189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.602854449621826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98634965} λ = -0.98634965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.602854449621826))-π/2
    2×atan(0.547247314627492)-π/2
    2×0.500727368623626-π/2
    1.00145473724725-1.57079632675     		φ = -0.56934159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98634965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.513672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56934159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.620870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5620 KachelY 9764 -0.98634965 -0.56934159 -56.513672 -32.620870
    Oben rechts KachelX + 1 5621 KachelY 9764 -0.98596615 -0.56934159 -56.491699 -32.620870
    Unten links KachelX 5620 KachelY + 1 9765 -0.98634965 -0.56966456 -56.513672 -32.639375
    Unten rechts KachelX + 1 5621 KachelY + 1 9765 -0.98596615 -0.56966456 -56.491699 -32.639375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56934159--0.56966456) × R
    0.000322970000000034 × 6371000     		dl = 2057.64187000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56934159--0.56966456) × R
    0.000322970000000034 × 6371000     		dr = 2057.64187000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98634965--0.98596615) × cos(-0.56934159) × R
    0.000383499999999981 × 0.842256091790206 × 6371000     		do = 2057.86620056494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98634965--0.98596615) × cos(-0.56966456) × R
    0.000383499999999981 × 0.842081941967956 × 6371000     		du = 2057.44070404845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56934159)-sin(-0.56966456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842256091790206-0.842081941967956)×R²
    abs(-0.98596615--0.98634965)×0.00017414982225028×R²
    0.000383499999999981×0.00017414982225028×6371000²
    0.000383499999999981×0.00017414982225028×40589641000000     		ar = 4233913.93421959m²