Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 5620 / 9759
↖ ↑ ↗
← S 32.528289°
W 56.513672°		 ← 2 059.99 m → S 32.528289°
W 56.491699°		 →
↑
2 059.74 m
↓
↑
2 059.74 m
↓
S 32.546813°
W 56.513672°		 ← 2 059.57 m →
4 242 619 m²		 S 32.546813°
W 56.491699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343048095703125 y=0.595672607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343048095703125 × 214)
    floor (0.343048095703125 × 16384)
    floor (5620.5)     		tx = 5620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595672607421875 × 214)
    floor (0.595672607421875 × 16384)
    floor (9759.5)     		ty = 9759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5620 / 9759 ti = "14/5620/9759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5620/9759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5620 ÷ 214
    5620 ÷ 16384     		x = 0.343017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9759 ÷ 214
    9759 ÷ 16384     		y = 0.59564208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343017578125 × 2 - 1) × π
    -0.31396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.98634965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59564208984375 × 2 - 1) × π
    -0.1912841796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.600936973637024
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98634965} λ = -0.98634965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.600936973637024))-π/2
    2×atan(0.548297654890336)-π/2
    2×0.501535288675861-π/2
    1.00307057735172-1.57079632675     		φ = -0.56772575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98634965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.513672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56772575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.528289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5620 KachelY 9759 -0.98634965 -0.56772575 -56.513672 -32.528289
    Oben rechts KachelX + 1 5621 KachelY 9759 -0.98596615 -0.56772575 -56.491699 -32.528289
    Unten links KachelX 5620 KachelY + 1 9760 -0.98634965 -0.56804905 -56.513672 -32.546813
    Unten rechts KachelX + 1 5621 KachelY + 1 9760 -0.98596615 -0.56804905 -56.491699 -32.546813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56772575--0.56804905) × R
    0.000323300000000026 × 6371000     		dl = 2059.74430000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56772575--0.56804905) × R
    0.000323300000000026 × 6371000     		dr = 2059.74430000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98634965--0.98596615) × cos(-0.56772575) × R
    0.000383499999999981 × 0.84312605504649 × 6371000     		do = 2059.9917630848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98634965--0.98596615) × cos(-0.56804905) × R
    0.000383499999999981 × 0.842952167416165 × 6371000     		du = 2059.56690717621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56772575)-sin(-0.56804905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84312605504649-0.842952167416165)×R²
    abs(-0.98596615--0.98634965)×0.000173887630325109×R²
    0.000383499999999981×0.000173887630325109×6371000²
    0.000383499999999981×0.000173887630325109×40589641000000     		ar = 4242618.78174734m²