Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 562 / 747
↖ ↑ ↗
← S 63.391522°
E 17.578125°		 ← 17.509 km → S 63.391522°
E 17.929687°		 →
↑
17.461 km
↓
↑
17.461 km
↓
S 63.548552°
E 17.578125°		 ← 17.413 km →
304.887 km²		 S 63.548552°
E 17.929687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54931640625 y=0.72998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54931640625 × 210)
    floor (0.54931640625 × 1024)
    floor (562.5)     		tx = 562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72998046875 × 210)
    floor (0.72998046875 × 1024)
    floor (747.5)     		ty = 747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 562 / 747 ti = "10/562/747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/562/747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 562 ÷ 210
    562 ÷ 1024     		x = 0.548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 747 ÷ 210
    747 ÷ 1024     		y = 0.7294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548828125 × 2 - 1) × π
    0.09765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.30679616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7294921875 × 2 - 1) × π
    -0.458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44194194057129
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30679616} λ = 0.30679616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44194194057129))-π/2
    2×atan(0.236468105509096)-π/2
    2×0.232202777265412-π/2
    0.464405554530824-1.57079632675     		φ = -1.10639077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30679616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.578125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10639077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.391522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 562 KachelY 747 0.30679616 -1.10639077 17.578125 -63.391522
    Oben rechts KachelX + 1 563 KachelY 747 0.31293208 -1.10639077 17.929687 -63.391522
    Unten links KachelX 562 KachelY + 1 748 0.30679616 -1.10913147 17.578125 -63.548552
    Unten rechts KachelX + 1 563 KachelY + 1 748 0.31293208 -1.10913147 17.929687 -63.548552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10639077--1.10913147) × R
    0.00274069999999993 × 6371000     		dl = 17460.9996999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10639077--1.10913147) × R
    0.00274069999999993 × 6371000     		dr = 17460.9996999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30679616-0.31293208) × cos(-1.10639077) × R
    0.00613592000000002 × 0.447891396092727 × 6371000     		do = 17508.9464132468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30679616-0.31293208) × cos(-1.10913147) × R
    0.00613592000000002 × 0.445439290109431 × 6371000     		du = 17413.0888177768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10639077)-sin(-1.10913147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447891396092727-0.445439290109431)×R²
    abs(0.31293208-0.30679616)×0.00245210598329609×R²
    0.00613592000000002×0.00245210598329609×6371000²
    0.00613592000000002×0.00245210598329609×40589641000000     		ar = 304887014.191109m²