Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 562 / 717
↖ ↑ ↗
← N 75.208245°
W130.605469°		 ← 2 495.11 m → N 75.208245°
W130.517578°		 →
↑
2 496.99 m
↓
↑
2 496.99 m
↓
N 75.185789°
W130.605469°		 ← 2 498.81 m →
6 234 874 m²		 N 75.185789°
W130.517578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1373291015625 y=0.1751708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1373291015625 × 212)
    floor (0.1373291015625 × 4096)
    floor (562.5)     		tx = 562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1751708984375 × 212)
    floor (0.1751708984375 × 4096)
    floor (717.5)     		ty = 717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 562 / 717 ti = "12/562/717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/562/717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 562 ÷ 212
    562 ÷ 4096     		x = 0.13720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 717 ÷ 212
    717 ÷ 4096     		y = 0.175048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13720703125 × 2 - 1) × π
    -0.7255859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27949545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.175048828125 × 2 - 1) × π
    0.64990234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.04172842861743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27949545} λ = -2.27949545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.04172842861743))-π/2
    2×atan(7.70391336224002)-π/2
    2×1.44171391321882-π/2
    2.88342782643764-1.57079632675     		φ = 1.31263150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27949545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.605469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31263150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.208245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 562 KachelY 717 -2.27949545 1.31263150 -130.605469 75.208245
    Oben rechts KachelX + 1 563 KachelY 717 -2.27796147 1.31263150 -130.517578 75.208245
    Unten links KachelX 562 KachelY + 1 718 -2.27949545 1.31223957 -130.605469 75.185789
    Unten rechts KachelX + 1 563 KachelY + 1 718 -2.27796147 1.31223957 -130.517578 75.185789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31263150-1.31223957) × R
    0.000391929999999929 × 6371000     		dl = 2496.98602999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31263150-1.31223957) × R
    0.000391929999999929 × 6371000     		dr = 2496.98602999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27949545--2.27796147) × cos(1.31263150) × R
    0.00153398000000005 × 0.25530662698846 × 6371000     		do = 2495.10823934336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27949545--2.27796147) × cos(1.31223957) × R
    0.00153398000000005 × 0.255685548863883 × 6371000     		du = 2498.81143774674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31263150)-sin(1.31223957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.25530662698846-0.255685548863883)×R²
    abs(-2.27796147--2.27949545)×0.000378921875423099×R²
    0.00153398000000005×0.000378921875423099×6371000²
    0.00153398000000005×0.000378921875423099×40589641000000     		ar = 6234873.9141248m²