Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 562 / 430
↖ ↑ ↗
← N 80.444930°
W130.605469°		 ← 1 622.27 m → N 80.444930°
W130.517578°		 →
↑
1 623.46 m
↓
↑
1 623.46 m
↓
N 80.430330°
W130.605469°		 ← 1 624.73 m →
2 635 684 m²		 N 80.430330°
W130.517578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1373291015625 y=0.1051025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1373291015625 × 212)
    floor (0.1373291015625 × 4096)
    floor (562.5)     		tx = 562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1051025390625 × 212)
    floor (0.1051025390625 × 4096)
    floor (430.5)     		ty = 430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 562 / 430 ti = "12/562/430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/562/430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 562 ÷ 212
    562 ÷ 4096     		x = 0.13720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 430 ÷ 212
    430 ÷ 4096     		y = 0.10498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13720703125 × 2 - 1) × π
    -0.7255859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27949545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10498046875 × 2 - 1) × π
    0.7900390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.48198091472803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27949545} λ = -2.27949545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48198091472803))-π/2
    2×atan(11.9649424887826)-π/2
    2×1.48741261546342-π/2
    2.97482523092684-1.57079632675     		φ = 1.40402890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27949545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.605469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40402890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.444930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 562 KachelY 430 -2.27949545 1.40402890 -130.605469 80.444930
    Oben rechts KachelX + 1 563 KachelY 430 -2.27796147 1.40402890 -130.517578 80.444930
    Unten links KachelX 562 KachelY + 1 431 -2.27949545 1.40377408 -130.605469 80.430330
    Unten rechts KachelX + 1 563 KachelY + 1 431 -2.27796147 1.40377408 -130.517578 80.430330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40402890-1.40377408) × R
    0.000254819999999878 × 6371000     		dl = 1623.45821999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40402890-1.40377408) × R
    0.000254819999999878 × 6371000     		dr = 1623.45821999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27949545--2.27796147) × cos(1.40402890) × R
    0.00153398000000005 × 0.165995495769574 × 6371000     		do = 1622.27175249654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27949545--2.27796147) × cos(1.40377408) × R
    0.00153398000000005 × 0.166246775135035 × 6371000     		du = 1624.72750236302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40402890)-sin(1.40377408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165995495769574-0.166246775135035)×R²
    abs(-2.27796147--2.27949545)×0.000251279365461016×R²
    0.00153398000000005×0.000251279365461016×6371000²
    0.00153398000000005×0.000251279365461016×40589641000000     		ar = 2635683.82958033m²