Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 562 / 1644
↖ ↑ ↗
← S 73.022592°
W 81.210938°		 ← 5 707.32 m → S 73.022592°
W 81.035156°		 →
↑
5 698.99 m
↓
↑
5 698.99 m
↓
S 73.073844°
W 81.210938°		 ← 5 690.59 m →
32 478 281 m²		 S 73.073844°
W 81.035156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274658203125 y=0.802978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274658203125 × 211)
    floor (0.274658203125 × 2048)
    floor (562.5)     		tx = 562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802978515625 × 211)
    floor (0.802978515625 × 2048)
    floor (1644.5)     		ty = 1644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 562 / 1644 ti = "11/562/1644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/562/1644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 562 ÷ 211
    562 ÷ 2048     		x = 0.2744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1644 ÷ 211
    1644 ÷ 2048     		y = 0.802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2744140625 × 2 - 1) × π
    -0.451171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41739825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802734375 × 2 - 1) × π
    -0.60546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.90213617692383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41739825} λ = -1.41739825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90213617692383))-π/2
    2×atan(0.149249455206495)-π/2
    2×0.148155837774754-π/2
    0.296311675549507-1.57079632675     		φ = -1.27448465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41739825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.210938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27448465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.022592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 562 KachelY 1644 -1.41739825 -1.27448465 -81.210938 -73.022592
    Oben rechts KachelX + 1 563 KachelY 1644 -1.41433029 -1.27448465 -81.035156 -73.022592
    Unten links KachelX 562 KachelY + 1 1645 -1.41739825 -1.27537917 -81.210938 -73.073844
    Unten rechts KachelX + 1 563 KachelY + 1 1645 -1.41433029 -1.27537917 -81.035156 -73.073844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27448465--1.27537917) × R
    0.000894519999999899 × 6371000     		dl = 5698.98691999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27448465--1.27537917) × R
    0.000894519999999899 × 6371000     		dr = 5698.98691999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41739825--1.41433029) × cos(-1.27448465) × R
    0.00306795999999987 × 0.291994614822817 × 6371000     		do = 5707.31890419108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41739825--1.41433029) × cos(-1.27537917) × R
    0.00306795999999987 × 0.291138961329864 × 6371000     		du = 5690.59432398355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27448465)-sin(-1.27537917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291994614822817-0.291138961329864)×R²
    abs(-1.41433029--1.41739825)×0.000855653492953357×R²
    0.00306795999999987×0.000855653492953357×6371000²
    0.00306795999999987×0.000855653492953357×40589641000000     		ar = 32478281.3669947m²