Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 562 / 1638
↖ ↑ ↗
← S 72.711903°
W 81.210938°		 ← 5 808.60 m → S 72.711903°
W 81.035156°		 →
↑
5 800.16 m
↓
↑
5 800.16 m
↓
S 72.764065°
W 81.210938°		 ← 5 791.61 m →
33 641 546 m²		 S 72.764065°
W 81.035156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274658203125 y=0.800048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274658203125 × 211)
    floor (0.274658203125 × 2048)
    floor (562.5)     		tx = 562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800048828125 × 211)
    floor (0.800048828125 × 2048)
    floor (1638.5)     		ty = 1638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 562 / 1638 ti = "11/562/1638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/562/1638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 562 ÷ 211
    562 ÷ 2048     		x = 0.2744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1638 ÷ 211
    1638 ÷ 2048     		y = 0.7998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2744140625 × 2 - 1) × π
    -0.451171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41739825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7998046875 × 2 - 1) × π
    -0.599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.88372840746973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41739825} λ = -1.41739825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88372840746973))-π/2
    2×atan(0.152022246929139)-π/2
    2×0.15086710609228-π/2
    0.30173421218456-1.57079632675     		φ = -1.26906211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41739825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.210938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26906211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.711903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 562 KachelY 1638 -1.41739825 -1.26906211 -81.210938 -72.711903
    Oben rechts KachelX + 1 563 KachelY 1638 -1.41433029 -1.26906211 -81.035156 -72.711903
    Unten links KachelX 562 KachelY + 1 1639 -1.41739825 -1.26997251 -81.210938 -72.764065
    Unten rechts KachelX + 1 563 KachelY + 1 1639 -1.41433029 -1.26997251 -81.035156 -72.764065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26906211--1.26997251) × R
    0.0009104000000002 × 6371000     		dl = 5800.15840000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26906211--1.26997251) × R
    0.0009104000000002 × 6371000     		dr = 5800.15840000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41739825--1.41433029) × cos(-1.26906211) × R
    0.00306795999999987 × 0.29717652202554 × 6371000     		do = 5808.60432329311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41739825--1.41433029) × cos(-1.26997251) × R
    0.00306795999999987 × 0.296307128535886 × 6371000     		du = 5791.61118147884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26906211)-sin(-1.26997251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29717652202554-0.296307128535886)×R²
    abs(-1.41433029--1.41739825)×0.00086939348965448×R²
    0.00306795999999987×0.00086939348965448×6371000²
    0.00306795999999987×0.00086939348965448×40589641000000     		ar = 33641546.0244971m²