Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56199 / 86403
↖ ↑ ↗
← S 49.616049°
W 25.644836°		 ← 197.89 m → S 49.616049°
W 25.642090°		 →
↑
197.88 m
↓
↑
197.88 m
↓
S 49.617828°
W 25.644836°		 ← 197.88 m →
39 158 m²		 S 49.617828°
W 25.642090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428768157958984 y=0.659206390380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428768157958984 × 217)
    floor (0.428768157958984 × 131072)
    floor (56199.5)     		tx = 56199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659206390380859 × 217)
    floor (0.659206390380859 × 131072)
    floor (86403.5)     		ty = 86403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56199 / 86403 ti = "17/56199/86403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56199/86403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56199 ÷ 217
    56199 ÷ 131072     		x = 0.428764343261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86403 ÷ 217
    86403 ÷ 131072     		y = 0.659202575683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428764343261719 × 2 - 1) × π
    -0.142471313476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.44758683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659202575683594 × 2 - 1) × π
    -0.318405151367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.00029928437171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44758683} λ = -0.44758683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00029928437171))-π/2
    2×atan(0.367769357078072)-π/2
    2×0.352416456571379-π/2
    0.704832913142757-1.57079632675     		φ = -0.86596341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44758683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.644836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86596341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.616049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56199 KachelY 86403 -0.44758683 -0.86596341 -25.644836 -49.616049
    Oben rechts KachelX + 1 56200 KachelY 86403 -0.44753889 -0.86596341 -25.642090 -49.616049
    Unten links KachelX 56199 KachelY + 1 86404 -0.44758683 -0.86599447 -25.644836 -49.617828
    Unten rechts KachelX + 1 56200 KachelY + 1 86404 -0.44753889 -0.86599447 -25.642090 -49.617828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86596341--0.86599447) × R
    3.10599999999717e-05 × 6371000     		dl = 197.883259999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86596341--0.86599447) × R
    3.10599999999717e-05 × 6371000     		dr = 197.883259999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44758683--0.44753889) × cos(-0.86596341) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.647906567991573 × 6371000     		do = 197.887342979557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44758683--0.44753889) × cos(-0.86599447) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.647882908661544 × 6371000     		du = 197.880116811175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86596341)-sin(-0.86599447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647906567991573-0.647882908661544)×R²
    abs(-0.44753889--0.44758683)×2.36593300282362e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36593300282362e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36593300282362e-05×40589641000000     		ar = 39157.8775757598m²