Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56199 / 14282
↖ ↑ ↗
← N 80.203980°
W 25.644836°		 ← 51.97 m → N 80.203980°
W 25.642090°		 →
↑
51.99 m
↓
↑
51.99 m
↓
N 80.203513°
W 25.644836°		 ← 51.97 m →
2 702 m²		 N 80.203513°
W 25.642090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428768157958984 y=0.108966827392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428768157958984 × 217)
    floor (0.428768157958984 × 131072)
    floor (56199.5)     		tx = 56199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108966827392578 × 217)
    floor (0.108966827392578 × 131072)
    floor (14282.5)     		ty = 14282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56199 / 14282 ti = "17/56199/14282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56199/14282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56199 ÷ 217
    56199 ÷ 131072     		x = 0.428764343261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14282 ÷ 217
    14282 ÷ 131072     		y = 0.108963012695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428764343261719 × 2 - 1) × π
    -0.142471313476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.44758683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108963012695312 × 2 - 1) × π
    0.782073974609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.45695785312636
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44758683} λ = -0.44758683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45695785312636))-π/2
    2×atan(11.6692578912783)-π/2
    2×1.48530992767155-π/2
    2.97061985534311-1.57079632675     		φ = 1.39982353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44758683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.644836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39982353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.203980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56199 KachelY 14282 -0.44758683 1.39982353 -25.644836 80.203980
    Oben rechts KachelX + 1 56200 KachelY 14282 -0.44753889 1.39982353 -25.642090 80.203980
    Unten links KachelX 56199 KachelY + 1 14283 -0.44758683 1.39981537 -25.644836 80.203513
    Unten rechts KachelX + 1 56200 KachelY + 1 14283 -0.44753889 1.39981537 -25.642090 80.203513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39982353-1.39981537) × R
    8.15999999992378e-06 × 6371000     		dl = 51.9873599995144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39982353-1.39981537) × R
    8.15999999992378e-06 × 6371000     		dr = 51.9873599995144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44758683--0.44753889) × cos(1.39982353) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17014104256666 × 6371000     		do = 51.9654538302595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44758683--0.44753889) × cos(1.39981537) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.170149083585915 × 6371000     		du = 51.9679097645158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39982353)-sin(1.39981537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17014104256666-0.170149083585915)×R²
    abs(-0.44753889--0.44758683)×8.04101925500067e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.04101925500067e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.04101925500067e-06×40589641000000     		ar = 2701.61059452783m²