Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56198 / 43398
↖ ↑ ↗
← N 51.825593°
W 25.647583°		 ← 188.77 m → N 51.825593°
W 25.644836°		 →
↑
188.77 m
↓
↑
188.77 m
↓
N 51.823896°
W 25.647583°		 ← 188.78 m →
35 635 m²		 N 51.823896°
W 25.644836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428760528564453 y=0.331104278564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428760528564453 × 217)
    floor (0.428760528564453 × 131072)
    floor (56198.5)     		tx = 56198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331104278564453 × 217)
    floor (0.331104278564453 × 131072)
    floor (43398.5)     		ty = 43398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56198 / 43398 ti = "17/56198/43398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56198/43398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56198 ÷ 217
    56198 ÷ 131072     		x = 0.428756713867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43398 ÷ 217
    43398 ÷ 131072     		y = 0.331100463867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428756713867188 × 2 - 1) × π
    -0.142486572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44763477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331100463867188 × 2 - 1) × π
    0.337799072265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0612270837888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44763477} λ = -0.44763477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0612270837888))-π/2
    2×atan(2.88991498226084)-π/2
    2×1.23766178421576-π/2
    2.47532356843152-1.57079632675     		φ = 0.90452724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44763477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.647583°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90452724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.825593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56198 KachelY 43398 -0.44763477 0.90452724 -25.647583 51.825593
    Oben rechts KachelX + 1 56199 KachelY 43398 -0.44758683 0.90452724 -25.644836 51.825593
    Unten links KachelX 56198 KachelY + 1 43399 -0.44763477 0.90449761 -25.647583 51.823896
    Unten rechts KachelX + 1 56199 KachelY + 1 43399 -0.44758683 0.90449761 -25.644836 51.823896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90452724-0.90449761) × R
    2.96300000000027e-05 × 6371000     		dl = 188.772730000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90452724-0.90449761) × R
    2.96300000000027e-05 × 6371000     		dr = 188.772730000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44763477--0.44758683) × cos(0.90452724) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.618057301248822 × 6371000     		do = 188.770608596419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44763477--0.44758683) × cos(0.90449761) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.618080594099784 × 6371000     		du = 188.777722832661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90452724)-sin(0.90449761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618057301248822-0.618080594099784)×R²
    abs(-0.44758683--0.44763477)×2.32928509616981e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32928509616981e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32928509616981e-05×40589641000000     		ar = 35635.414617974m²