Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56198 / 19150
↖ ↑ ↗
← N 77.647122°
W 25.647583°		 ← 65.34 m → N 77.647122°
W 25.644836°		 →
↑
65.30 m
↓
↑
65.30 m
↓
N 77.646535°
W 25.647583°		 ← 65.34 m →
4 267 m²		 N 77.646535°
W 25.644836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428760528564453 y=0.146106719970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428760528564453 × 217)
    floor (0.428760528564453 × 131072)
    floor (56198.5)     		tx = 56198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146106719970703 × 217)
    floor (0.146106719970703 × 131072)
    floor (19150.5)     		ty = 19150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56198 / 19150 ti = "17/56198/19150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56198/19150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56198 ÷ 217
    56198 ÷ 131072     		x = 0.428756713867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19150 ÷ 217
    19150 ÷ 131072     		y = 0.146102905273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428756713867188 × 2 - 1) × π
    -0.142486572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44763477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146102905273438 × 2 - 1) × π
    0.707794189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22360102577592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44763477} λ = -0.44763477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22360102577592))-π/2
    2×atan(9.24054647088937)-π/2
    2×1.46299713508233-π/2
    2.92599427016466-1.57079632675     		φ = 1.35519794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44763477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.647583°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35519794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.647122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56198 KachelY 19150 -0.44763477 1.35519794 -25.647583 77.647122
    Oben rechts KachelX + 1 56199 KachelY 19150 -0.44758683 1.35519794 -25.644836 77.647122
    Unten links KachelX 56198 KachelY + 1 19151 -0.44763477 1.35518769 -25.647583 77.646535
    Unten rechts KachelX + 1 56199 KachelY + 1 19151 -0.44758683 1.35518769 -25.644836 77.646535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35519794-1.35518769) × R
    1.02500000001005e-05 × 6371000     		dl = 65.30275000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35519794-1.35518769) × R
    1.02500000001005e-05 × 6371000     		dr = 65.30275000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44763477--0.44758683) × cos(1.35519794) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.213931999842803 × 6371000     		do = 65.3403393617009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44763477--0.44758683) × cos(1.35518769) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.213942012529254 × 6371000     		du = 65.3433974938695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35519794)-sin(1.35518769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213931999842803-0.213942012529254)×R²
    abs(-0.44758683--0.44763477)×1.0012686450761e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.0012686450761e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.0012686450761e-05×40589641000000     		ar = 4267.00369858635m²