Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56198 / 16279
↖ ↑ ↗
← N 79.225382°
W 25.647583°		 ← 57.10 m → N 79.225382°
W 25.644836°		 →
↑
57.08 m
↓
↑
57.08 m
↓
N 79.224868°
W 25.647583°		 ← 57.10 m →
3 259 m²		 N 79.224868°
W 25.644836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428760528564453 y=0.124202728271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428760528564453 × 217)
    floor (0.428760528564453 × 131072)
    floor (56198.5)     		tx = 56198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124202728271484 × 217)
    floor (0.124202728271484 × 131072)
    floor (16279.5)     		ty = 16279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56198 / 16279 ti = "17/56198/16279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56198/16279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56198 ÷ 217
    56198 ÷ 131072     		x = 0.428756713867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16279 ÷ 217
    16279 ÷ 131072     		y = 0.124198913574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428756713867188 × 2 - 1) × π
    -0.142486572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44763477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124198913574219 × 2 - 1) × π
    0.751602172851562 × 3.1415926535     		Φ = 2.36122786458511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44763477} λ = -0.44763477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36122786458511))-π/2
    2×atan(10.6039636936451)-π/2
    2×1.47677004475252-π/2
    2.95354008950505-1.57079632675     		φ = 1.38274376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44763477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.647583°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38274376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.225382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56198 KachelY 16279 -0.44763477 1.38274376 -25.647583 79.225382
    Oben rechts KachelX + 1 56199 KachelY 16279 -0.44758683 1.38274376 -25.644836 79.225382
    Unten links KachelX 56198 KachelY + 1 16280 -0.44763477 1.38273480 -25.647583 79.224868
    Unten rechts KachelX + 1 56199 KachelY + 1 16280 -0.44758683 1.38273480 -25.644836 79.224868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38274376-1.38273480) × R
    8.96000000016883e-06 × 6371000     		dl = 57.0841600010756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38274376-1.38273480) × R
    8.96000000016883e-06 × 6371000     		dr = 57.0841600010756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44763477--0.44758683) × cos(1.38274376) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.186946150407071 × 6371000     		do = 57.0981663282596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44763477--0.44758683) × cos(1.38273480) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.186954952436226 × 6371000     		du = 57.1008546945277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38274376)-sin(1.38273480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186946150407071-0.186954952436226)×R²
    abs(-0.44758683--0.44763477)×8.80202915498618e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.80202915498618e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.80202915498618e-06×40589641000000     		ar = 3259.47759390032m²