Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56197 / 16274
↖ ↑ ↗
← N 79.227949°
W 25.650330°		 ← 57.08 m → N 79.227949°
W 25.647583°		 →
↑
57.08 m
↓
↑
57.08 m
↓
N 79.227436°
W 25.650330°		 ← 57.09 m →
3 259 m²		 N 79.227436°
W 25.647583°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428752899169922 y=0.124164581298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428752899169922 × 217)
    floor (0.428752899169922 × 131072)
    floor (56197.5)     		tx = 56197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124164581298828 × 217)
    floor (0.124164581298828 × 131072)
    floor (16274.5)     		ty = 16274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56197 / 16274 ti = "17/56197/16274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56197/16274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56197 ÷ 217
    56197 ÷ 131072     		x = 0.428749084472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16274 ÷ 217
    16274 ÷ 131072     		y = 0.124160766601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428749084472656 × 2 - 1) × π
    -0.142501831054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.44768271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124160766601562 × 2 - 1) × π
    0.751678466796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36146754908321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44768271} λ = -0.44768271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36146754908321))-π/2
    2×atan(10.6065056039769)-π/2
    2×1.4767924461619-π/2
    2.95358489232381-1.57079632675     		φ = 1.38278857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44768271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.650330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38278857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.227949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56197 KachelY 16274 -0.44768271 1.38278857 -25.650330 79.227949
    Oben rechts KachelX + 1 56198 KachelY 16274 -0.44763477 1.38278857 -25.647583 79.227949
    Unten links KachelX 56197 KachelY + 1 16275 -0.44768271 1.38277961 -25.650330 79.227436
    Unten rechts KachelX + 1 56198 KachelY + 1 16275 -0.44763477 1.38277961 -25.647583 79.227436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38278857-1.38277961) × R
    8.95999999994679e-06 × 6371000     		dl = 57.084159999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38278857-1.38277961) × R
    8.95999999994679e-06 × 6371000     		dr = 57.084159999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44768271--0.44763477) × cos(1.38278857) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186902130212401 × 6371000     		do = 57.0847214276614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44768271--0.44763477) × cos(1.38277961) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186910932316607 × 6371000     		du = 57.0874098168521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38278857)-sin(1.38277961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186902130212401-0.186910932316607)×R²
    abs(-0.44763477--0.44768271)×8.80210420611816e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.80210420611816e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.80210420611816e-06×40589641000000     		ar = 3258.71010369906m²