Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56196 / 86357
↖ ↑ ↗
← S 49.534122°
W 25.653076°		 ← 198.18 m → S 49.534122°
W 25.650330°		 →
↑
198.20 m
↓
↑
198.20 m
↓
S 49.535904°
W 25.653076°		 ← 198.17 m →
39 279 m²		 S 49.535904°
W 25.650330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428745269775391 y=0.658855438232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428745269775391 × 217)
    floor (0.428745269775391 × 131072)
    floor (56196.5)     		tx = 56196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658855438232422 × 217)
    floor (0.658855438232422 × 131072)
    floor (86357.5)     		ty = 86357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56196 / 86357 ti = "17/56196/86357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56196/86357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56196 ÷ 217
    56196 ÷ 131072     		x = 0.428741455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86357 ÷ 217
    86357 ÷ 131072     		y = 0.658851623535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428741455078125 × 2 - 1) × π
    -0.14251708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44773064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658851623535156 × 2 - 1) × π
    -0.317703247070312 × 3.1415926535     		Φ = -0.998094186989189
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44773064} λ = -0.44773064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.998094186989189))-π/2
    2×atan(0.368581219113191)-π/2
    2×0.353131405133027-π/2
    0.706262810266055-1.57079632675     		φ = -0.86453352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44773064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.653076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86453352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.534122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56196 KachelY 86357 -0.44773064 -0.86453352 -25.653076 -49.534122
    Oben rechts KachelX + 1 56197 KachelY 86357 -0.44768271 -0.86453352 -25.650330 -49.534122
    Unten links KachelX 56196 KachelY + 1 86358 -0.44773064 -0.86456463 -25.653076 -49.535904
    Unten rechts KachelX + 1 56197 KachelY + 1 86358 -0.44768271 -0.86456463 -25.650330 -49.535904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86453352--0.86456463) × R
    3.11099999998898e-05 × 6371000     		dl = 198.201809999298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86453352--0.86456463) × R
    3.11099999998898e-05 × 6371000     		dr = 198.201809999298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44773064--0.44768271) × cos(-0.86453352) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.648995080819076 × 6371000     		do = 198.178455339048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44773064--0.44768271) × cos(-0.86456463) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.648971412247135 × 6371000     		du = 198.171227855873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86453352)-sin(-0.86456463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648995080819076-0.648971412247135)×R²
    abs(-0.44768271--0.44773064)×2.36685719405827e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36685719405827e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36685719405827e-05×40589641000000     		ar = 39278.6123042162m²