Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56195 / 86407
↖ ↑ ↗
← S 49.623166°
W 25.655823°		 ← 197.86 m → S 49.623166°
W 25.653076°		 →
↑
197.82 m
↓
↑
197.82 m
↓
S 49.624945°
W 25.655823°		 ← 197.85 m →
39 140 m²		 S 49.624945°
W 25.653076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428737640380859 y=0.659236907958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428737640380859 × 217)
    floor (0.428737640380859 × 131072)
    floor (56195.5)     		tx = 56195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659236907958984 × 217)
    floor (0.659236907958984 × 131072)
    floor (86407.5)     		ty = 86407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56195 / 86407 ti = "17/56195/86407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56195/86407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56195 ÷ 217
    56195 ÷ 131072     		x = 0.428733825683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86407 ÷ 217
    86407 ÷ 131072     		y = 0.659233093261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428733825683594 × 2 - 1) × π
    -0.142532348632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.44777858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659233093261719 × 2 - 1) × π
    -0.318466186523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.00049103197019
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44777858} λ = -0.44777858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00049103197019))-π/2
    2×atan(0.367698844947539)-π/2
    2×0.352354343843718-π/2
    0.704708687687437-1.57079632675     		φ = -0.86608764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44777858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.655823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86608764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.623166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56195 KachelY 86407 -0.44777858 -0.86608764 -25.655823 -49.623166
    Oben rechts KachelX + 1 56196 KachelY 86407 -0.44773064 -0.86608764 -25.653076 -49.623166
    Unten links KachelX 56195 KachelY + 1 86408 -0.44777858 -0.86611869 -25.655823 -49.624945
    Unten rechts KachelX + 1 56196 KachelY + 1 86408 -0.44773064 -0.86611869 -25.653076 -49.624945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86608764--0.86611869) × R
    3.10499999999214e-05 × 6371000     		dl = 197.819549999499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86608764--0.86611869) × R
    3.10499999999214e-05 × 6371000     		dr = 197.819549999499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44777858--0.44773064) × cos(-0.86608764) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.647811934539386 × 6371000     		do = 197.858439487394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44777858--0.44773064) × cos(-0.86611869) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.647788280327789 × 6371000     		du = 197.851214882313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86608764)-sin(-0.86611869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647811934539386-0.647788280327789)×R²
    abs(-0.44773064--0.44777858)×2.36542115975569e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36542115975569e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36542115975569e-05×40589641000000     		ar = 39139.5528820491m²