Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56195 / 43401
↖ ↑ ↗
← N 51.820500°
W 25.655823°		 ← 188.79 m → N 51.820500°
W 25.653076°		 →
↑
188.77 m
↓
↑
188.77 m
↓
N 51.818803°
W 25.655823°		 ← 188.80 m →
35 639 m²		 N 51.818803°
W 25.653076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428737640380859 y=0.331127166748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428737640380859 × 217)
    floor (0.428737640380859 × 131072)
    floor (56195.5)     		tx = 56195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331127166748047 × 217)
    floor (0.331127166748047 × 131072)
    floor (43401.5)     		ty = 43401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56195 / 43401 ti = "17/56195/43401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56195/43401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56195 ÷ 217
    56195 ÷ 131072     		x = 0.428733825683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43401 ÷ 217
    43401 ÷ 131072     		y = 0.331123352050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428733825683594 × 2 - 1) × π
    -0.142532348632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.44777858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331123352050781 × 2 - 1) × π
    0.337753295898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.06108327308994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44777858} λ = -0.44777858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06108327308994))-π/2
    2×atan(2.88949941145008)-π/2
    2×1.23761734007744-π/2
    2.47523468015488-1.57079632675     		φ = 0.90443835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44777858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.655823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90443835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.820500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56195 KachelY 43401 -0.44777858 0.90443835 -25.655823 51.820500
    Oben rechts KachelX + 1 56196 KachelY 43401 -0.44773064 0.90443835 -25.653076 51.820500
    Unten links KachelX 56195 KachelY + 1 43402 -0.44777858 0.90440872 -25.655823 51.818803
    Unten rechts KachelX + 1 56196 KachelY + 1 43402 -0.44773064 0.90440872 -25.653076 51.818803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90443835-0.90440872) × R
    2.96299999998917e-05 × 6371000     		dl = 188.77272999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90443835-0.90440872) × R
    2.96299999998917e-05 × 6371000     		dr = 188.77272999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44777858--0.44773064) × cos(0.90443835) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.61812717817378 × 6371000     		do = 188.791950807715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44777858--0.44773064) × cos(0.90440872) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.618150469396773 × 6371000     		du = 188.799064546733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90443835)-sin(0.90440872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61812717817378-0.618150469396773)×R²
    abs(-0.44773064--0.44777858)×2.32912229930493e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32912229930493e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32912229930493e-05×40589641000000     		ar = 35639.4433985203m²