Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56193 / 43399
↖ ↑ ↗
← N 51.823896°
W 25.661316°		 ← 188.74 m → N 51.823896°
W 25.658570°		 →
↑
188.77 m
↓
↑
188.77 m
↓
N 51.822198°
W 25.661316°		 ← 188.75 m →
35 629 m²		 N 51.822198°
W 25.658570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428722381591797 y=0.331111907958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428722381591797 × 217)
    floor (0.428722381591797 × 131072)
    floor (56193.5)     		tx = 56193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331111907958984 × 217)
    floor (0.331111907958984 × 131072)
    floor (43399.5)     		ty = 43399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56193 / 43399 ti = "17/56193/43399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56193/43399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56193 ÷ 217
    56193 ÷ 131072     		x = 0.428718566894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43399 ÷ 217
    43399 ÷ 131072     		y = 0.331108093261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428718566894531 × 2 - 1) × π
    -0.142562866210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.44787445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331108093261719 × 2 - 1) × π
    0.337783813476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.06117914688918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44787445} λ = -0.44787445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06117914688918))-π/2
    2×atan(2.88977645201681)-π/2
    2×1.23764697006125-π/2
    2.47529394012251-1.57079632675     		φ = 0.90449761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44787445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.661316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90449761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.823896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56193 KachelY 43399 -0.44787445 0.90449761 -25.661316 51.823896
    Oben rechts KachelX + 1 56194 KachelY 43399 -0.44782652 0.90449761 -25.658570 51.823896
    Unten links KachelX 56193 KachelY + 1 43400 -0.44787445 0.90446798 -25.661316 51.822198
    Unten rechts KachelX + 1 56194 KachelY + 1 43400 -0.44782652 0.90446798 -25.658570 51.822198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90449761-0.90446798) × R
    2.96300000000027e-05 × 6371000     		dl = 188.772730000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90449761-0.90446798) × R
    2.96300000000027e-05 × 6371000     		dr = 188.772730000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44787445--0.44782652) × cos(0.90449761) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.618080594099784 × 6371000     		do = 188.738344917813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44787445--0.44782652) × cos(0.90446798) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.61810388640811 × 6371000     		du = 188.745457504367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90449761)-sin(0.90446798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618080594099784-0.61810388640811)×R²
    abs(-0.44782652--0.44787445)×2.3292308326095e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3292308326095e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3292308326095e-05×40589641000000     		ar = 35629.3239596085m²