Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56191 / 86411
↖ ↑ ↗
← S 49.630283°
W 25.666809°		 ← 197.83 m → S 49.630283°
W 25.664062°		 →
↑
197.82 m
↓
↑
197.82 m
↓
S 49.632062°
W 25.666809°		 ← 197.82 m →
39 134 m²		 S 49.632062°
W 25.664062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428707122802734 y=0.659267425537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428707122802734 × 217)
    floor (0.428707122802734 × 131072)
    floor (56191.5)     		tx = 56191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659267425537109 × 217)
    floor (0.659267425537109 × 131072)
    floor (86411.5)     		ty = 86411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56191 / 86411 ti = "17/56191/86411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56191/86411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56191 ÷ 217
    56191 ÷ 131072     		x = 0.428703308105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86411 ÷ 217
    86411 ÷ 131072     		y = 0.659263610839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428703308105469 × 2 - 1) × π
    -0.142593383789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.44797033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659263610839844 × 2 - 1) × π
    -0.318527221679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.00068277956867
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44797033} λ = -0.44797033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00068277956867))-π/2
    2×atan(0.367628346336242)-π/2
    2×0.352292240188411-π/2
    0.704584480376823-1.57079632675     		φ = -0.86621185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44797033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.666809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86621185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.630283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56191 KachelY 86411 -0.44797033 -0.86621185 -25.666809 -49.630283
    Oben rechts KachelX + 1 56192 KachelY 86411 -0.44792239 -0.86621185 -25.664062 -49.630283
    Unten links KachelX 56191 KachelY + 1 86412 -0.44797033 -0.86624290 -25.666809 -49.632062
    Unten rechts KachelX + 1 56192 KachelY + 1 86412 -0.44792239 -0.86624290 -25.664062 -49.632062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86621185--0.86624290) × R
    3.10500000000324e-05 × 6371000     		dl = 197.819550000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86621185--0.86624290) × R
    3.10500000000324e-05 × 6371000     		dr = 197.819550000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44797033--0.44792239) × cos(-0.86621185) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.647717306327073 × 6371000     		do = 197.829537595852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44797033--0.44792239) × cos(-0.86624290) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.647693649617274 × 6371000     		du = 197.822312227756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86621185)-sin(-0.86624290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647717306327073-0.647693649617274)×R²
    abs(-0.44792239--0.44797033)×2.36567097990914e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36567097990914e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36567097990914e-05×40589641000000     		ar = 39133.8354476522m²