Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56191 / 43412
↖ ↑ ↗
← N 51.801821°
W 25.666809°		 ← 188.87 m → N 51.801821°
W 25.664062°		 →
↑
188.84 m
↓
↑
188.84 m
↓
N 51.800123°
W 25.666809°		 ← 188.88 m →
35 666 m²		 N 51.800123°
W 25.664062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428707122802734 y=0.331211090087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428707122802734 × 217)
    floor (0.428707122802734 × 131072)
    floor (56191.5)     		tx = 56191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331211090087891 × 217)
    floor (0.331211090087891 × 131072)
    floor (43412.5)     		ty = 43412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56191 / 43412 ti = "17/56191/43412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56191/43412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56191 ÷ 217
    56191 ÷ 131072     		x = 0.428703308105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43412 ÷ 217
    43412 ÷ 131072     		y = 0.331207275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428703308105469 × 2 - 1) × π
    -0.142593383789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.44797033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331207275390625 × 2 - 1) × π
    0.33758544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06055596719412
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44797033} λ = -0.44797033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06055596719412))-π/2
    2×atan(2.88797616301868)-π/2
    2×1.2374543352476-π/2
    2.47490867049521-1.57079632675     		φ = 0.90411234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44797033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.666809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90411234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.801821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56191 KachelY 43412 -0.44797033 0.90411234 -25.666809 51.801821
    Oben rechts KachelX + 1 56192 KachelY 43412 -0.44792239 0.90411234 -25.664062 51.801821
    Unten links KachelX 56191 KachelY + 1 43413 -0.44797033 0.90408270 -25.666809 51.800123
    Unten rechts KachelX + 1 56192 KachelY + 1 43413 -0.44792239 0.90408270 -25.664062 51.800123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90411234-0.90408270) × R
    2.96399999999419e-05 × 6371000     		dl = 188.83643999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90411234-0.90408270) × R
    2.96399999999419e-05 × 6371000     		dr = 188.83643999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44797033--0.44792239) × cos(0.90411234) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.618383414645116 × 6371000     		do = 188.870212021806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44797033--0.44792239) × cos(0.90408270) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.618406707754433 × 6371000     		du = 188.877326336956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90411234)-sin(0.90408270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618383414645116-0.618406707754433)×R²
    abs(-0.44792239--0.44797033)×2.32931093167021e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32931093167021e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32931093167021e-05×40589641000000     		ar = 35666.2501836251m²