Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56191 / 14289
↖ ↑ ↗
← N 80.200709°
W 25.666809°		 ← 51.98 m → N 80.200709°
W 25.664062°		 →
↑
51.99 m
↓
↑
51.99 m
↓
N 80.200241°
W 25.666809°		 ← 51.99 m →
2 703 m²		 N 80.200241°
W 25.664062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428707122802734 y=0.109020233154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428707122802734 × 217)
    floor (0.428707122802734 × 131072)
    floor (56191.5)     		tx = 56191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109020233154297 × 217)
    floor (0.109020233154297 × 131072)
    floor (14289.5)     		ty = 14289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56191 / 14289 ti = "17/56191/14289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56191/14289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56191 ÷ 217
    56191 ÷ 131072     		x = 0.428703308105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14289 ÷ 217
    14289 ÷ 131072     		y = 0.109016418457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428703308105469 × 2 - 1) × π
    -0.142593383789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.44797033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109016418457031 × 2 - 1) × π
    0.781967163085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.45662229482902
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44797033} λ = -0.44797033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45662229482902))-π/2
    2×atan(11.6653428318711)-π/2
    2×1.48528137683192-π/2
    2.97056275366384-1.57079632675     		φ = 1.39976643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44797033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.666809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39976643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.200709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56191 KachelY 14289 -0.44797033 1.39976643 -25.666809 80.200709
    Oben rechts KachelX + 1 56192 KachelY 14289 -0.44792239 1.39976643 -25.664062 80.200709
    Unten links KachelX 56191 KachelY + 1 14290 -0.44797033 1.39975827 -25.666809 80.200241
    Unten rechts KachelX + 1 56192 KachelY + 1 14290 -0.44792239 1.39975827 -25.664062 80.200241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39976643-1.39975827) × R
    8.15999999992378e-06 × 6371000     		dl = 51.9873599995144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39976643-1.39975827) × R
    8.15999999992378e-06 × 6371000     		dr = 51.9873599995144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44797033--0.44792239) × cos(1.39976643) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.170197309755308 × 6371000     		do = 51.9826392780501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44797033--0.44792239) × cos(1.39975827) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.170205350695273 × 6371000     		du = 51.9850951880893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39976643)-sin(1.39975827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170197309755308-0.170205350695273)×R²
    abs(-0.44792239--0.44797033)×8.04093996517596e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.04093996517596e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.04093996517596e-06×40589641000000     		ar = 2702.50401998356m²