Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56190 / 43414
↖ ↑ ↗
← N 51.798424°
W 25.669555°		 ← 188.85 m → N 51.798424°
W 25.666809°		 →
↑
188.84 m
↓
↑
188.84 m
↓
N 51.796726°
W 25.669555°		 ← 188.85 m →
35 661 m²		 N 51.796726°
W 25.666809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428699493408203 y=0.331226348876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428699493408203 × 217)
    floor (0.428699493408203 × 131072)
    floor (56190.5)     		tx = 56190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331226348876953 × 217)
    floor (0.331226348876953 × 131072)
    floor (43414.5)     		ty = 43414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56190 / 43414 ti = "17/56190/43414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56190/43414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56190 ÷ 217
    56190 ÷ 131072     		x = 0.428695678710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43414 ÷ 217
    43414 ÷ 131072     		y = 0.331222534179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428695678710938 × 2 - 1) × π
    -0.142608642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44801826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331222534179688 × 2 - 1) × π
    0.337554931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06046009339488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44801826} λ = -0.44801826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06046009339488))-π/2
    2×atan(2.88769929504423)-π/2
    2×1.23742469074732-π/2
    2.47484938149463-1.57079632675     		φ = 0.90405305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44801826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.669555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90405305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.798424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56190 KachelY 43414 -0.44801826 0.90405305 -25.669555 51.798424
    Oben rechts KachelX + 1 56191 KachelY 43414 -0.44797033 0.90405305 -25.666809 51.798424
    Unten links KachelX 56190 KachelY + 1 43415 -0.44801826 0.90402341 -25.669555 51.796726
    Unten rechts KachelX + 1 56191 KachelY + 1 43415 -0.44797033 0.90402341 -25.666809 51.796726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90405305-0.90402341) × R
    2.9640000000053e-05 × 6371000     		dl = 188.836440000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90405305-0.90402341) × R
    2.9640000000053e-05 × 6371000     		dr = 188.836440000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44801826--0.44797033) × cos(0.90405305) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.61843000817886 × 6371000     		do = 188.84504271031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44801826--0.44797033) × cos(0.90402341) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.618453300201396 × 6371000     		du = 188.852155209594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90405305)-sin(0.90402341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61843000817886-0.618453300201396)×R²
    abs(-0.44797033--0.44801826)×2.32920225359257e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.32920225359257e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.32920225359257e-05×40589641000000     		ar = 35661.4971291244m²