Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56189 / 43413
↖ ↑ ↗
← N 51.800123°
W 25.672302°		 ← 188.88 m → N 51.800123°
W 25.669555°		 →
↑
188.90 m
↓
↑
188.90 m
↓
N 51.798424°
W 25.672302°		 ← 188.88 m →
35 680 m²		 N 51.798424°
W 25.669555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428691864013672 y=0.331218719482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428691864013672 × 217)
    floor (0.428691864013672 × 131072)
    floor (56189.5)     		tx = 56189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331218719482422 × 217)
    floor (0.331218719482422 × 131072)
    floor (43413.5)     		ty = 43413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56189 / 43413 ti = "17/56189/43413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56189/43413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56189 ÷ 217
    56189 ÷ 131072     		x = 0.428688049316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43413 ÷ 217
    43413 ÷ 131072     		y = 0.331214904785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428688049316406 × 2 - 1) × π
    -0.142623901367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.44806620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331214904785156 × 2 - 1) × π
    0.337570190429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.0605080302945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44806620} λ = -0.44806620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0605080302945))-π/2
    2×atan(2.88783772571341)-π/2
    2×1.23743951327665-π/2
    2.4748790265533-1.57079632675     		φ = 0.90408270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44806620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.672302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90408270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.800123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56189 KachelY 43413 -0.44806620 0.90408270 -25.672302 51.800123
    Oben rechts KachelX + 1 56190 KachelY 43413 -0.44801826 0.90408270 -25.669555 51.800123
    Unten links KachelX 56189 KachelY + 1 43414 -0.44806620 0.90405305 -25.672302 51.798424
    Unten rechts KachelX + 1 56190 KachelY + 1 43414 -0.44801826 0.90405305 -25.669555 51.798424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90408270-0.90405305) × R
    2.96499999999922e-05 × 6371000     		dl = 188.90014999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90408270-0.90405305) × R
    2.96499999999922e-05 × 6371000     		dr = 188.90014999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44806620--0.44801826) × cos(0.90408270) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.618406707754433 × 6371000     		do = 188.877326336956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44806620--0.44801826) × cos(0.90405305) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.61843000817886 × 6371000     		du = 188.884442886329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90408270)-sin(0.90405305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618406707754433-0.61843000817886)×R²
    abs(-0.44801826--0.44806620)×2.33004244271084e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33004244271084e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33004244271084e-05×40589641000000     		ar = 35679.6274380132m²